1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·

Arhimedova slika sa a = 3/4

U matematici, beskonačni red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · je primjer jednog od prvih beskonačnih redova koji je ikada sumiran u historiji matematike; koristio ga je Arhimed oko 250.–200 p.n.e.. Njegova suma iznosi 1/3. Općenitije, za bilo koje a, beskonačan geometrijski red, čiji je prvi član a i čiji je omjer 1/4, je konvergentan sa sumom

$a+\frac{a}{4}+\frac{a}{4^2}+\frac{a}{4^3}+\cdots = \frac43 a.$

Vizuelno prikazivanje

3s = 1.

Red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · ima prilično jednostavan vizuelni prikaz zato i kvadrat i trougao dijele površinu na četiri slična dijela, od kojih svaki predstavlja 1/4 površine originala.

Na slici desno, ako se pretpostavi da veliki kvadrat ima površinu 1, tada najveći crni kvadrat ima površinu (1/2)*(1/2) = 1/4. Slično tome, drugi najveći crni kvadrat ima površinu 1/16, a treći 1/64. Površina koju zauzimaju svi crni kvadrati tada iznosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, a isto toliko iznosi i površina koju zauzimaju sivi i bijeli kvarati. Pošto ove tri površine prekrivaju jediničnu površinu, slika nam pokazuje da

$3\left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = 1.$

Arhimedova vlastita ilustracija, prikazana na vrhu, bila je malo različita i bila je bliža jednačini

3s = 1 again

$\frac34+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{3}{4^4}+\cdots = 1.$

Pogledajte dole za Arhimedovu interpretaciju.

Ista geometrijska strategija funkcioniše na trouglovima, kao što je prikazano na slici desno: ako veliki trugao ima površinu 1, tada najveći crni trougao ima površinu 1/4, i tako dalje. Figura u cjelini posjeduje samosličnost između velikog trougla i njegovih pod-trouglova (manji trouglovi).

Arhimed

Arhimed se sreo sa redovima u svoj radu Kvadratura parabole. On je računao površinu unutar parabole metodom iscrpljenja, te je, kao rezultat, dobio niz trouglova;u svakom narednom koraku u konstrukciji dodaje površinu od 1/4 od površine prethodnog koraka. Tražio je rezultat u kojem je ukupna površina 4/3 površine prvog koraka. Kako bi to dobio, Arhimed je uveo slijedeću tvrdnju (teoremu):

Tvrdnja 23. Za dati red površina A, B, C, D, … , Z, od kojih je A najveća, a svaka naredna je veća četiri puta od slijedeće u redu, tada je

$A + B + C + D + \cdots + Z + \frac13 Z = \frac43 A.$

Arhimed je dokazuje ovu tvrdnju najprije sa proračunim

$\begin{array}{rcl} \displaystyle B+C+\cdots+Z+\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Z}{3} & = &\displaystyle \frac{4B}{3}+\frac{4C}{3}+\cdots+\frac{4Z}{3} \\[1em] & = &\displaystyle \frac13(A+B+\cdots+Y). \end{array}$

Sa druge strane,

$\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Y}{3} = \frac13(B+C+\cdots+Y).$

Oduzimanjem ove jednačine od prethodne dobijamo

$B+C+\cdots+Z+\frac{Z}{3} = \frac13 A$,

te dodajući A na obje strane, dobijamo željeni rezultat.

Danas, standardniji iskaz Arhimedove tvrdnje je da su parcijalne sume reda 1 + 1/4 + 1/16 + · · ·:

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^n}=\frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14}.$

Ovaj oblik može se dokazati množenjem obje strane sa 1 − 1/4, gdje bi se većina članova na lijevoj strani pokratilo u parovima. Ovaj način funkcioniše kod većine konačnih geometrijskih redova.

Limes

Archimedesova tvrdnja 24 primjenljuje konačnu (ali neodređenu) sumu u tvrdnji 23 na površinu unutar parabole preko dvostrukog reductio ad absurdum. On u stvari ne uzima limes gore navedenih parcijalnih suma, ali u modernom kalulusu ovaj korak je prilično lagan:

$\lim_{n\to\infty} \frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14} = \frac{1}{1-\frac14} = \frac43.$

Pošto je suma beskonačnog reda definisana sa limesom njegovih parcijalnih suma,

$1+\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots = \frac43.$

Reference

• Ajose, Sunday and Roger Nelsen (June 1994). "Proof without Words: Geometric Series". Mathematics Magazine 67 (3): 230.
• Heath, T. L. [1897] (1953). The Works of Archimedes, Cambridge UP. Page images at Archimedes' quadrature of the parabola. HTML with figures and commentary at Archimedes of Syracuse.
• Mabry, Rick (February 1999). "Proof without Words: ¹⁄₄ + (¹⁄₄)² + (¹⁄₄)³ + · · · = ¹⁄₃". Mathematics Magazine 72 (1): 63.
• Nelsen, Roger B. and Claudi Alsina (2006). Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics, MAA. ISBN 0883857464. ISBN 0883857464.
• Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP. ISBN 0-19-853585-6. ISBN 0-19-853585-6.
• Stein, Sherman K. (1999). Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?, MAA. ISBN 0883857189. ISBN 0883857189.
• Swain, Gordon and Thomas Dence (April 1998). "Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited". Mathematics Magazine 71 (2): 123–30.