1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Suma svih prirodnih brojeva 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, može se pisati i kao

$\sum_{n=1}^{\infin} n^1,$

je divergentan red; suma prvih n članova može se pronaći koristeći se formulom $\frac{n(n+1)}{2}$.

Iako na prvi pogleda red nema neku značajnu vrijednost, može se manipulacijom ovog reda doći mnoštva matematički interesantnih rezultata, koji, čak, imaju primjenu u drugim oblastima, kao što su kompleksna analiza i kvantna terija polja.

Dokaz formule za parcijalnu sumu

Dokaz da je sum prirodnih brojeva do n $\frac{n(n+1)}{2}$ može se dokazati na mnoštvo načina. Najprije, neka je

$S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n.\,$

Članovi se mogu pregrupisati i napisati od zadnjeg pa do prvog:

$S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 4 + 3 + 2 + 1.\,$

Ako saberemo ova dva, član po član, dobijamo:

$2S_n = \underbrace{(n+1) + ((n-1)+2)+((n-2)+3)+\cdots+(3+(n-2))+(2+(n-1)) + (1+n)}_{n}$

$2S_n = \underbrace{(n+1) + (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) + (n+1)}_{n}$

$2S_n = n\cdot(n + 1)$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Sumiranje i analitičko produženje zeta funkcije

Ramanujanova suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · · iznosi −¹⁄₁₂.

Kada je realni dio od s veći od 1, Riemannova zeta-funkcija od s jednaka je sumi $\sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}$. Ova suma divergira kada je realni dio od s manji od 1, ali kada je s = −1 tada analitičko produženje od ζ(s) daje ζ(−1) kao −¹⁄₁₂.

Također pogledajte

• Beskonačni aritmetički red
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• Trouglasti broj

Reference

• Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin (1995). Ramanujan: letters and commentary, American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0287-9. ISBN 0-8218-0287-9.
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series, Clarendon Press. LCC QA295 .H29 1967. LCC QA295 .H29 1967.

Dalje čitanje

• Lepowsky, James (1999). "Vertex operator algebras and the zeta function". Contemporary Mathematics 248: 327–340.
• Zee, A. (2003). Quantum field theory in a nutshell, Princeton UP. ISBN 0-691-01019-6. ISBN 0-691-01019-6. See pp. 65–6 on the Casimir effect.
• Zwiebach, Barton (2004). A First Course in String Theory, Cambridge UP. ISBN 0-521-83143-1. ISBN 0-521-83143-1. See p. 293.

Vanjski linkovi

• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147)
  • Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −¹⁄₁₂