Abelov test

U matematici, Abelov test (poznat i pod nazivom Abelov kriterij) je metoda testiranja konvergencije beskonačnih redova. Test je dobio naziv po matematičaru Nielsu Abelu. Postoje dvije verzije ovog testa, koje se mnogo ne razlikuju – jedna se koristi nad redovima realnih brojeva, a drugi se koristi kod potencijalnih redova u kompleksnoj analizi.

Abelov test u analizi u skupu realnih brojeva

Za dva data niza realnih brojeva, $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$, te ako niz zadovoljava uslove

• $\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ konvergira

• $\lbrace b_n \rbrace\,$ je monotona i $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n \ne \pm\infty$

tada red

$\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n$

konvergira.

Abelov test u kompleksnoj analizi

Abelov test može se, često, koristiti da se odredi konvergencija porencijalnih redova na granicama njegovog kruga konvergencije. Specigično, Abelov test kaže da ako

$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,$

a red

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,$

konvergira kada je |z| < 1, a divergira kada je |z| > 1, i koeficijenti {a_n} sue pozitivni realni brojevi koji opadaju monotono prema nultoj granici za n > m (za dovoljno velike 0'n, drugim riječima), tada potencijalni red za f(z) konvergira svuda na jediničnom krugu, osim kada je z = 1. Abelov test ne može se primijeniti kada je z = 1, tako da se konvergencija u toj tački mora ispitati odvojeno. Primijenite da se Abelov test može primikjeniti na potencijalne redove sa radijusom konvergencije R ≠ 1 jednostavnim promjenama varijabli ζ = z/R.

Dokaz

Pretpostavimo da je z tačka na jediničnom krugu, z ≠ 1. Tada je

$z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} = 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0$

tako da, za svaka dva pozitivna cijela broja p > q > m, možemo pisati

$\begin{align} 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & = \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\ & = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] - a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\, \end{align}$

gdje su S_p i S_q parcijalne sume:

$S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,$

Ali sada, pošto su |z| = 1 i a_n monotono opadajući pozitivin realni brojevi kada n > m, možemo pisati

$\begin{align} \left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & = \left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\ & \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] + \left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\ & = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\ & = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}.\, \end{align}$

Sada možemo primijetiti Cauchyjev test, te zaključiti da potencijalni red za f(z) konvergira u odabranoj tački z ≠ 1, zato što je sin(½θ) ≠ 0 fiksna veličina, a a_q+1 može biti manje od bilo koje date ε > 0 tako što se izabere dovoljno veliko q.

Reference

• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

Vanjski linkovi

• Dokaz (za realne redove) na PlanetMath.org