Alternativni red

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, alternativni red je beskonačni red članova

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n,

gdje je an ≥ 0 (ili an ≤ 0) za sve n. Konačna suma ove vrste reda naziva se alternativna suma. Alternativni red konvergira ako članovi an konvergiraju u 0 monotono. Greška E, dobijena aproksimacijom alternativnog reda sa njegovom parcijalnom sumom za n članova, data je sa |E|<|an+1|.

Dovoljan uslov da red konvergira je da on konvergira apsolutno. Međutim, imamo i potreban uslov za konvergenciju. Na primjer, harmonijski red

\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1},

divergira, dok alternativni red

\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}

konvergira u prirodni logaritam od 2.

Širi test konvergencije alternativnih redova je Leibnizov test: ako niz a_n ponotono opadajući teži nuli, tada red

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n

konvergira.

Parcijalna suma

s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k

može se koristiti zaaproksimiranje sume konvergentnog alternativnog reda. Ako a_n monotono opadajući teži nuli, tada je greška u aproksimaciji manja od a_{n+1}. Posljednja opaska i osnova Leibnizovog testa. Uistinu, ako niz a_n monotono opadajući teži ka nuli (barem od neke tačka pa nadalje), može se jednostavno pokazati da niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. Pretpostavljajući da je m<n, imamo


\begin{array}{rcl}
\displaystyle\left|\sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,a_k\right|&=&\displaystyle\left|\sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots+a_n\\ \ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) -\cdots-a_n<a_{m+1}
\end{array}


(niz koji monotono opada osigurava da je a_{k}-a_{k+1}>0; primijetite da se mora voditi računa da li je nparno ili neparno, ali ovo ne mijenja zamisao ovog dokaza)

Pošto je a_{m+1}\rightarrow0 kada je m\rightarrow\infty, niz parcijalnih suma je Cauchyjev niz, tako da je red konvergentan. Pošto gornja procjena ne zavisi od n, to također pokazuje da je

\left|\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^m\,(-1)^k\,a_k\right|<a_{m+1}.

Konvergentni alternativni redovi, koji ne konvergiraju apsolutno, su promjeri uslovno konvergentnih redova. Riemannov teorem o redu primijenjuje se kod preraspodjele njihovih članova.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]