Aritmetička progresija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, aritmetička progresija ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između bilo koja dva susjedna člana niza konstantna. Na primjer, niz 3, 5, 7, 9, 11, 13... je aritmetička progresija sa razlikom 2.

Ako je prvi član aritmetičke progresije a_1, a razlika između članova iznosi d, tada je n-ti član niza dat sa:

\ a_n = a_1 + (n - 1)d,

a općenitija forma je:

\ a_n = a_m + (n - m)d.

Suma (aritmetičkog reda)[uredi | uredi izvor]

Suma komponenata aritmetičke progresije naziva se aritmetički red.

Formula (za aritmetički red)[uredi | uredi izvor]

Izrazimo artimetički red na dva različita načina:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.

Saberimo obje jednačina, lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine, te desnu stranu prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Svi članovi koji sadrže d se poništavaju, a ostaje nam:

\ 2S_n=n(a_1+a_n).

Sređivajući i uzimajući u obzir da je a_n = a_1 + (n-1)d, dobijamo:

 S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.

Proizvod[uredi | uredi izvor]

Proizvod komponenata aritmetičke progresije sa početnim elementom a_1, razlikom između člaova d,te n elemenata u totalu, je određen izrazom

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },

gdje x^{\overline{n}} označava Pochhammerov simbol, a \Gamma označava gama funkciju. (Zapazite da formula ne vrijedi kada je a_1/d negativan cijeli broj ili kada je nula).

Ovo je generalizacija iz činjenice da je proizvod progresije 1 \times 2 \times \cdots \times n dat preko faktorijela n!, te da je proizvod

m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!

za prirodne brojeve m i n dat sa

\frac{n!}{(m-1)!}.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]