Aritmetička progresija

U matematici, aritmetička progresija ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između bilo koja dva susjedna člana niza konstantna. Na primjer, niz 3, 5, 7, 9, 11, 13... je aritmetička progresija sa razlikom 2.

Ako jeprvi član aritmetičke progresije $a_1$ , a razlika između članova iznosi d, tada je n-ti član niza dat sa:

$\ a_n = a_1 + (n - 1)d,$

a općenitija forma je:

$\ a_n = a_m + (n - m)d.$

Sadržaj

1 Suma (aritmetičkog reda)
- 1.1 Formula (za aritmetički red)
2 Proizvod
3 Također pogledajte
4 Reference
5 Vanjski linkovi

Suma (aritmetičkog reda) [uredi]

Suma komponenata aritmetičke progresije naziva se aritmetički red.

Formula (za aritmetički red) [uredi]

Izrazimo artimetički red na dva različita načina:

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.$

Saberimo obje jednačina, lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine, te desnu stranu prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Svi članovi koji sadrže d se poništavaju, a ostaje nam:

$\ 2S_n=n(a_1+a_n).$

Sređivajući i uzimajući u obzir da je $a_n = a_1 + (n-1)d$ , dobijamo:

$S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.$

Proizvod [uredi]

Proizvod komponenata aritmetičke progresije sa početnim elementom $a_1$ , razlikom između člaova $d$ ,te $n$ elemenata u totalu, je određen izrazom

$a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },$

gdje $x^{\overline{n}}$ označava Pochhammerov simbol, a $\Gamma$ označava gama funkciju. (Zapazite da formula ne vrijedi kada je $a_1/d$ negativan cijeli broj ili kada je nula).