Aritmetička progresija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

U matematici, aritmetička progresija ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između bilo koja dva susjedna člana niza konstantna. Na primjer, niz 3, 5, 7, 9, 11, 13... je aritmetička progresija sa razlikom 2.

Ako jeprvi član aritmetičke progresije a1, a razlika između članova iznosi d, tada je n-ti član niza dat sa:

\ a_n = a_1 + (n - 1)d,

a općenitija forma je:

\ a_n = a_m + (n - m)d.

Sadržaj

[uredi] Suma (aritmetičkog reda)

Suma komponenata aritmetičke progresije naziva se aritmetički red.

[uredi] Formula (za aritmetički red

Izrazimo artimetički red na dva različita načina:

S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.

Saberimo obje jednačina, lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine, te desnu stranu prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Svi članovi koji sadrže d se poništavaju, a ostaje nam:

\ 2S_n=n(a_1+a_n).

Sređivajući i uzimajući u obzir da je an = a1 + (n − 1)d, dobijamo:

S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.

[uredi] Proizvod

Proizvod komponenata aritmetičke progresije sa početnim elementom a1, razlikom između člaova d,te n elemenata u totalu, je određen izrazom

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },

gdje x^{\overline{n}} označava Pochhammerov simbol, a Γ označava gama funkciju. (Zapazite da formula ne vrijedi kada je a1 / d negativan cijeli broj ili kada je nula).

Ovo je generalizacija iz činjenice da je proizvod progresije 1 \times 2 \times \cdots \times n dat preko faktorijela n!, te da je proizvod

m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!

za prirodne brojeve m i n dat sa

\frac{n!}{(m-1)!}.

[uredi] Također pogledajte

[uredi] Reference


  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci, 259–260, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95419-8.

[uredi] Vanjski linkovi

Preuzeto sa: "http://bs.wikipedia.org/wiki/Aritmeti%C4%8Dka_progresija"