Babenko–Becknerova nejednakost

U matematici, Babenko–Becknerova nejednakost je rezultat koji ima primjene u principima neodređenosti u Fourierovoj analizi L^p prostora. (q, p)-norma od n-dimenzionalne Fourierove transformacije je definisana kao

$\|{\mathcal {F}}\|_{q,p}=\sup _{f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}{\frac {\|{\mathcal {F}}f\|_{q}}{\|f\|_{p}}},{\text{ gdje je }}1<p\leq 2,{\text{ i }}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$

1961. godine, Babenko otkrio je ovu normu za parne cijeli vrijednosti od q. Na kraju, 1975. godine, korištenjem Hermiteovih funkcija kao sopstvene funkcije od Fourierovih transformacija, Beckner je dokazao da je vrijednost ove norme za sve $q\geq 2$ jednaka

$\|{\mathcal {F}}\|_{q,p}=\left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}.$

Sada imamo Babenko–Becknerovu nejednakost koja je

$\|{\mathcal {F}}f\|_{q}\leq \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}\|f\|_{p}.$

Kako bi ovo zapisali eksplicitno, (u slučaju jedne dimenzije,) ako je Fourierova transformacija normalizovana tako da je

$g(y)\approx \int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ixy}f(x)\,dx{\text{ and }}f(x)\approx \int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ixy}g(y)\,dy,$

tada imamo

$\left(\int _{\mathbb {R} }|g(y)|^{q}\,dy\right)^{1/q}\leq \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{1/2}\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}$

ili jednostavnije

$\left({\sqrt {q}}\int _{\mathbb {R} }|g(y)|^{q}\,dy\right)^{1/q}\leq \left({\sqrt {p}}\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$

Također pogledajte

• Hirschmanova neodređenost