Bez gubitka opštosti

Bez gubitka opštosti je često korišteni izraz u matematici koji znači da se uzima određena pretpostavka, ali da dokaz ipak vrijedi za sve moguće slučajeve. Za ostale slučajeve se može isto rasuđivanje koristiti, često zbog simetrije. Na primjer, ako imamo dva broja x i y gdje vrijedi x<y, onda bilo koji dokazani odnos baziran na ovu pretpostavku će vrijediti za komplementarni odnos y<x zato što su uloge x i y zamjenljive. Sa drugim riječima, ako znamo da P(x,y) vrijedi ako i samo ako P(y,x), onda je bez gubitka opštosti dovoljno da dokažemo da P(x,y) vrijedi zato što P(y,x) iz ovog slijedi zbog simetrije. U ovom kontekstu P nazivamo simetričnim.

Primjer

Uzmimo slijedeću činjenicu u obzir (što je slučaj principa golubinjaka):

Tri objekta su crvene ili plave boje.

Onda se slijedeća izjava može dokazati:

Postoje najmanje dva objekta iste boje.

Dokaz:

Pretpostavljamo bez gubitka opštosti da je prvi objekat crven. Ako je barem jedan od ostala dva objekta crven, onda izjava vrijedi. Ako su ostala dva objekta oboje plava, onda izjava također vrijedi.

Pretpostavka se u ovom prijmjeru odnosi i na sve ostale slučajeve, tj. na plavu boju, koja se također na isti način može potvrditi.

Također pogledajte

• Matematički žargon