Binomni teorem

U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)$

za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!:

${n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$

Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,$

$(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5.\,$

[uredi] "Binomni tip"

Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz

$\left\{\,x^k:k=0,1,2,\dots\,\right\}\,$

iz binomnog tipa.

[uredi] Dokaz

Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je n = 0, imamo da je

$(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.$

Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m. Tada, za n = m + 1

$(a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,$

$= a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j$

po hipotezi indukcije

$= \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$

množeći sa a i b dobijamo

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$

izvlačimo član k = 0

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}$

i kažemo da je j = k − 1

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}$

izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k$

te kombinujemo dobijene sume

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$

iz Pascalovog pravila imamo da je

$= \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$

dodajemo u m + 1 članova.

[uredi] Binomni broj

Binomni broj je broj u obliku $\scriptstyle x^n \,\pm\, y^n$ (kada je n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski: