Cauchyjev integralni test konvergencije

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Cauchyjev integralni test konvergencije je metoda koja se koristi za testiranje konvergencije kod beskonačnih redova koji imaju nenegativne članove. Ranu verziju testa konvergencije razvio je indijski matematičar Madhava u 14. vijeku, u pomoć svojih kolega iz škole Kerala. U Evropi je kasnije razrađen od strane Maclaurina i Cauchyja, te je poznat pod nazivom Maclaurin–Cauchyjev test (ili samo Cauchyjev integralni test).

Iskaz testa[uredi | uredi izvor]

Uzmimo cijeli broj N i nenegativnu monotono opadajuću funkciju f definisanu na neograničenom intervalu [N, ∞). Tada red

\sum_{n=N}^\infty f(n)

konvergira ako i samo ako integral

\int_N^\infty f(x)\,dx

ima određeno rješenje. To znači, ako integal divergira, divergira i dati red.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

U dokazu se koristi test poređenja, gdje se poredi član f(n) sa integralom od f preko intervala [n − 1, n] i [n, n + 1], respektivno.

Pošto je f monotono opadajuća funkcija, znamo da je


f(x)\le f(n)\quad\text{for }x\in[n,\infty)

i


f(n)\le f(x)\quad\text{for }x\in[N,n],

odakle vrijedi, za svaki n veći od N


\int_n^{n+1} f(x)\,dx
\le\int_{n}^{n+1} f(n)\,dx
=f(n)
=\int_{n-1}^{n} f(n)\,dx
\le\int_{n-1}^n f(x)\,dx.

Pošto prethodna procjena važi i za f(N), dobijamo sumiranjem preko cijelog n, od N do nekog većeg cijelog broja M


\int_N^{M+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=N}^MF(n)\le f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.

Kada pustimo da M teži u beskonačnost, dobijamo razultat.

Primjene[uredi | uredi izvor]

Hermonijski red


\sum_{n=1}^\infty \frac1n

divergira zato što, koristeći prirodni logaritam, njegovu derivaciju, te fundamentalni teorem kalkulusa, dobijamo


\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty
\quad\text{for }M\to\infty.

Suprotno, red


\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}

(uporedite sa Riemannovom zeta funkcijom) konvergira za svaki ε > 0, pošto je


\int_1^M\frac1{x^{1+\varepsilon}}\,dx
=-\frac1{\varepsilon x^\varepsilon}\biggr|_1^M=
\frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1{M^\varepsilon}\Bigr)
\le\frac1\varepsilon
\quad\text{for all }M\ge1.

Granica između konvergencije i divergencije[uredi | uredi izvor]

Prethodni primjeri koji uključuju harmonijske redove, postavljuju pitanje da li potoje monotoni nizovi takvi da f(n) opada do 0 brže od 1/n, ali sporije od 1/n1+ε, u smislu da


\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1/n}=0
\quad\text{and}\quad
\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1/n^{1+\varepsilon}}=\infty

za svaki ε > 0, te da li odgovarajući redovi funkcije f(n) još uvijek, u tom slulčaju, divergiraju. Kada se takav niz pronađe, slično pitanje može se postaviti u slačaju da f(n) uzme ulogu 1/n, i tako dalje. Na ovaj način moguće je istražiti granicu između divergencije i konvergencije.

Koristeći integralni test konvergencije, može se pokazati (pogledajte ispod) d, za svaki prirodan broj k, red


\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots \ln_{k-1}(n)\ln_k(n)}

još uvijek divergira (uporedite sa dokazom da suma recipročnih prostih brojeva divergira za k = 1), ali


\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots\ln_{k-1}(n)(\ln_k(n))^{1+\varepsilon}}

konvergira za svaki ε > 0. Ovdje lnk označava k-tu kompoziciju funkcija prirodnog logaritma definisanog rekurzivno sa


\ln_k(x)=
\begin{cases}
\ln(x)&\text{for }k=1,\\
\ln(\ln_{k-1}(x))&\text{for }k\ge2.
\end{cases}

Nadalje, Nk označava najmanji prirodni broj takav da je k-ta kompozocija dobro definisana i lnk Nk ≥ 1, npr.


N_k\ge \underbrace{e^{e^{\cdot^{\cdot^{e}}}}}_{k\ e'\text{s}}=e \uparrow\uparrow k

koristeći tetraciju ili Knuthovu notaciju.

Kako bi smo vidjeli divergenciju prvog reda koristeći integralni test, zapazite da ponavljanom primjenom pravila derivacije složene funkcije


\frac{d}{dx}\ln_{k+1}(x)
=\frac{d}{dx}\ln(\ln_k(x))
=\frac1{\ln_k(x)}\frac{d}{dx}\ln_k(x)
=\cdots
=\frac1{x\ln(x)\cdots\ln_k(x)},

odakle vrijedi


\int_{N_k}^\infty\frac{dx}{x\ln(x)\cdots\ln_k(x)}
=\ln_{k+1}(x)\bigr|_{N_k}^\infty=\infty.

Da bi smo vidjeli konvergenciju drugog reda, zapazite da sa primjenom pravila o derivaciji stepena, pravila o derivaciji složene funkcije i rezultata iznad dobijamo


-\frac{d}{dx}\frac1{\varepsilon(\ln_k(x))^\varepsilon}
=\frac1{(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}}\frac{d}{dx}\ln_k(x)
=\cdots
=\frac{1}{x\ln(x)\cdots\ln_{k-1}(x)(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}},

odakle vrijedi


\int_{N_k}^\infty\frac{dx}{x\ln(x)\cdots\ln_{k-1}(x)(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}}
=-\frac1{\varepsilon(\ln_k(x))^\varepsilon}\biggr|_{N_k}^\infty<\infty.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3