Dirichletov integral

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, postoji nekoliko integrala poznatih pod naziv Dirichletov integral, a naziv su dobili po njemačkom matematičaru Peteru Gustavu Lejeuneu Dirichletu.

Jedan od takvih je

\int_0^\infty \frac{\sin \omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}

Ovo se može dokazati korištenjem Fourierove transformacije. Također, može se vrlo jednostavno izračunati korištenjem diferencijacijom pod znakom integrala.

Dokaz uz korištenje diferencijacije pod znakom integrala[uredi | uredi izvor]

Prvo ćemo integral napisati kao funkciju proizvoljne konstante, \alpha i \omega.

Neka je f(\alpha)=\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega

Zatim trebamo naći f(0) nam daje

\frac{df}{d\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega

Primjenom Leinnizovog integracionog pravila,

\frac{\partial}{\partial\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega = \int_0^\infty  \frac{\partial}{\partial\alpha}e^{-\alpha\omega}\frac{\sin \omega}{\omega} d\omega = -\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \sin \omega \,d\omega

Ovaj integral može se učiniti jednostavnijim ako upotrijebimo Eulerovu formulu

e^{i\omega}=\cos \omega + i\sin \omega

Tada

\Im e^{i\omega}=\sin \omega, gdje \Im predastavlja imaginarni dio.

Sad integral glasi:

-\Im\int_0^\infty e^{-\alpha\omega}e^{i\omega}d\omega=\Im\frac{1}{-\alpha+i}=\Im\frac{-\alpha-i}{\alpha^2+1}=\frac{-1}{\alpha^2+1}

Tako da je,

\frac{df}{d\alpha}=\frac{-1}{\alpha^2+1}

Integracijom obe strane od 0 do \infty

\int_0^\infty\frac{df}{d\alpha}d\alpha=\int_0^\infty\frac{-1}{\alpha^2+1}d\alpha
f(\infty)-f(0)=-\arctan \infty + \arctan 0
f(0)=\frac{\pi}{2} + f(\infty)

Note that f(\infty)=\lim_{\alpha\rightarrow \infty} \int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega}{d\omega}=0

Tako da je,

f(0)=\frac{\pi}{2}

Tada

\int_0^\infty \frac{\sin \omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]