Eksponencijalna funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Eksponencijalna funkcija je funkcija u matematici. Primjena ove funkcije na vrijednost x se zapisuje kao ex, gdje je e matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, koja približno iznosi 2,718281828,te je poznata pod nazivom Eulerov broj. Često, ovo se može napisati u obliku exp(x).

The exponential function is nearly flat (climbing slowly) for negative values of x, climbs quickly for positive values of x, and equals 1 when x is equal to 0. Its y value always equals the slope at that point.

Ako funkcija od realne varijable x, grafik od y = ex je uvijek pozitivan (iznad x ose) i rastući (gledato s lijeva na desno). Funkcija nikada ne dodiruje x osu, iako se proizvoljno blizu približi istoj (tako da je x osa horizontalna asimptota grafika). Njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, ln(x), je definisan za sve pozitivne x. Za eksponencijalnu funkciju se nekad kaže da je antilogaritam. Međutim, ova terminologija se, u zadnje vrijeme, manje koristi.

Ponekad, posebno u naukama, termin eksponencijalna funkcija se općenito koristi za funkcije oblika cbx, gdje je b, predstavljajući bazu, bilo koji pozitivan realan broj, a ne mora nužno biti e. Pogledajte članak eksponencijalni rast za više informacija o ovoj upotrebi.

Općenito, varijabla x može biti bilo koji realan ili kompleksan broj, ili čak potpuno druga vrsta matematičkog objekta; pogledajte formalnu definiciju ispod.

Sadržaj

[uredi] Formalna definicija

Info
Glavni članak: Karakterizacije eksponencijalne funkcije
Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvihh n+1 članova potencijalnog reda lijevo (crveno).

Eksponencijalna funkcija ex može se definisati, na razne ekvivalnetne načine, kao beskonačan red. Tačnije, može se definisati pomoću potencijalnog reda:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

Uočite da ova definicija ima oblik Taylorovog reda. Koristeći druge definicije za eksponencijalnu funkciju trebale bi dovesti do istog rezultata kada se proširi u Taylorov red.

Rjeđe, ex je definisano kao rješenje y jednačine

x = \int_{1}^y {dt \over t}.

Također, to je slijedeća granična vrijednost:

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.

[uredi] Neprekidni razlomci za ex

Preko Eulerovog identiteta:

\, \ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots= 1+\cfrac{x}{1-\cfrac{x}{x+2-\cfrac{2x}{x+3-\cfrac{3x}{x+4-\cfrac{4x}{x+5-\cfrac{5x}{\ddots}}}}}}

Naprednije tehnike su neophodne da se napiše sljedeće:

\, \ e^{2m/n}=1+\cfrac{2m}{(n-m)+\cfrac{m^2}{3n+\cfrac{m^2}{5n+\cfrac{m^2}{7n+\cfrac{m^2}{9n+\cfrac{m^2}{\ddots}}}}}}\,

Ako stavimo da je m = x i n = 2, dobijamo

\, \ e^x=1+\cfrac{2x}{(2-x)+\cfrac{x^2}{6+\cfrac{x^2}{10+\cfrac{x^2}{14+\cfrac{x^2}{18+\cfrac{x^2}{\ddots}}}}}}\,

[uredi] Izručanavanje ez za kompleksan z

Ovo slijedi direktno iz formule

\,e^{x + yi} = e^xe^{yi} = e^x(\cos(y) + i \sin(y)) = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y).

Uočite da je argument y kod trigonometrijskih funkcija realan.

[uredi] Također pogledajte

[uredi] Reference

[uredi] Vanjski linkovi

Preuzeto sa: "http://bs.wikipedia.org/wiki/Eksponencijalna_funkcija"