Elementi matematičke logike

Predmet matematičke logike je dokaz. Matematika je strogo deduktivna nauka. To znači da se u njoj sestavovi izvode iz osnovnih stavova.

Konstante i promjenljive

1,3,kvadrat stranice 4 cm su konstante. One određuju određen objekat. x, y, trougaosu promjenljive (varijable). Pomoću konstanti i varijabli dobijamo sudove 2x.

Formule

Upotrebom relacijskih oznaka i sudova dobijamo formule 2<x. Za formule u kojima figurišu varijable moramo znati iz kog su skupa vrijednosti varijabli.

Npr: $x\leq y$ x,y iz Z

za x=1 i y=-3: $1\leq -3$ (n)

za x=5 i y=7: $5\leq 7$ (i)

i.....istinito n....neistinito

Predikat ili otvoreni sud

Predikat ili otvoreni sud je formula u kojoj figurišu varijable i koja postaje sud istinit ili neistinit kada u njeg uvrstimo vrijednosti varijable iz skupa S na kom je data ta formula.

$2x\leq (x+1)$

$4\leq 3$ (n)

$2\leq 2$ (i)

$0\leq 1$ (i)

Vrijednosti varijabli za koje predikat postaje istinit sud nazivamo skupom njenih istinitosti

Definicija

Definicija (lat. definitus - određen, razgovetan, jasan) je određivanje jednog pojma po njegovim svojstvima Ona mora biti jasna i razgovjetna.

1. Definicija se izriče najbližim srodnim pojmom i pojedinačnim razlikama (prema drugim pojmovima koji također spadaju pod isti srodni pojam);
2. Važno je pravilo: - definicija ne smije biti odrična (ne treba određivati šta neki pojam nije nego šta jeste)

Definicija je ispravna samo onda kada ona sadrži osnovne pojmove ili pojmove koji su ranije definisani. U definiciji ne smije biti pojmova koji nisu osnovni ili nisu ranije definisani.

Definicija matematičkog pojma

Uvođenje matamatičkog pojma možemo izvesti na različita načine:

1. genetički - kad se ukazuje način obrazovanja datog pojma;
2. svođenjem datog pojma na pojmove koji su već poznati .
3. aksiomatski - kad se pojam određuje implicitno u aksiomama (na primer, Tačka, pravai ravan).

Primeri definicija matematičkog pojma:

1. Sferom (trodimenzionalnog Euklidovog prostora) se naziva površ koja nastaje obrtanjem kruga oko njegovog prečnika (ovo je genetička definicija. pojma sfere). Ali se sfera može definisati pomoću pojma geometrijskog mesta tačaka u prostoru ili analitički.
2. Logaritam broja $b>0$ za osnovu $a>0,a\not =1$ se može definisati kao rešenje eksponencijalne funkcije $a^{x}=b\,$, što se piše: $x=log_{a}b\,$, a može se definisati i kao neko neprekidno rešenje funkcionalne jednačine

$f(xy)=f(x)+f(y)\,$

Logički sudovi

Matematika svoje rezultate formuliše u logičke sudove (stavove) Pri izvođenju stavova moramo poći od početnih stavova. Ove stavove nazivamo aksiomi. Sudovi(iskazi) kojima se tačno i sažeto iskazuju rezultati proučavanja u jednoj matematičkoj nauci nazivaju se stavovi. U nekoj matematičkoj teoriji broj im je mali. Pri izboru aksioma bitno je i poželjno da su saglasni našem iskustvu.i da iskazuju jednostavnije činjenice. Dijele se na aksiome i teoreme. Aksiomi su iskazi ćiju istinitost ne dokazujemo, već ih smatramo istinitim. Teoreme su izkazi čiju istinitost dokazujemo.

Algebra sudova

Osnovna posobina bilo kog suda jeste da je ili tačan ili netačan. Da bi se pravila određivanja istinitosti precizno formalizovala uvedena je dfinicija.

Definicija

Algebra sudova je dvoelementni skup {⊤,⊥} (čitamo te ili ne te), zajedno sa jednom unatrašjom operacijom $\lnot$ i četiri binarne operacije $\wedge$, $\vee$, $=>$ i $<=>$ koje su definisane sljedećim tablicama.

	$\lnot$
⊤	⊥
⊥	⊤

	$\lnot$
⊤	⊥
⊥	⊤

$\wedge$	⊤	⊥
⊤	⊤	⊥
⊥	⊥	⊥

$\vee$	⊤	⊥
⊤	⊤	⊤
⊥	⊤	⊥

$=>$	⊤	⊥
⊤	⊤	⊥
⊥	⊤	⊤

$<=>$	⊤	⊥
⊤	⊤	⊥
⊥	⊥	⊤

Operacije sa sudovima

Negacija

Negacija iskaza p je iskaz $\neg p$ (nije p)čija je istinitosna vrijednost suprotna o istinitosne vrijednosti iskaza p. Ova operacija je unarna (unus-1)

Neka su date duži a i b takve da je

$P:a=b$

$\neg P:a\neq b$

Negacija negacije nekog suda je sam taj sud. $\neg (\neg P)=P$ Iskaz $\neg P$ je istinit ako je P neistinit

Istinite vrijednosti
Negacija jednostavno "obrne" istinitu vrijednost iskaza: ako je iskaz istinit, njegova je negacija neistinita, a ako je neistinit, negacija mu je istinita. Vrijednost cijelog iskaza piše se ispod znaka negacije. Evo i tablice:

	$\lnot$
⊤	⊥
⊥	⊤

Konjukcija sudova

Konjukcija je binarni veznik.

Konjugacija iskaza p i q je iskaz $p\land q$. Tačan je ako i samo ako su iskazi p i q istovremeno tačni.

Tablica istinitosti

$\wedge$	⊤	⊥
⊤	⊤	⊥
⊥	⊥	⊥

Disjunkcija

Disjunkcija je binarni veznik.

Disjunkcija iskaza p i q je iskaz p ili q, u označava $p\vee q$ Iskaz $p\vee q$ je tačan ako i samo ako je bar jedan od iskaza p i q tačan, odnosno on je netačan ako i samo ako su oba iskaza netačna.

Tablica istinitosti | class="wikitable" |- ! $\vee$ !! ⊤ !! ⊥ |- | ⊤ || ⊤ || ⊤ |- | ⊥ || ⊤ || ⊥ |}

Implikacija

Implikacija odgovara na ako ... onda . Označava se znakom $=>$ ili $P=>Q$ . Tako se rečenica $P=>Q$ prevodi sa "Ako su prave a i b paralelne i ako su prave b i c paralelne, onda su prave a i c paralelne. Onda je neistinita onda i samo onda ako je sud P istinit i sud Q neistinit.

Tablica istinitosti

$=>$	⊤	⊥
⊤	⊤	⊥
⊥	⊤	⊤

Ekvivalencija

Ako su tačne implikacije $P=>Q$ i $Q=>P$. Dobijamo novi sud $P<=>Q$ koji nazivamo ekvivalencija. To je binarna logička operacija. Ekvivalencija suda P sa sudom Q je s$P<=>Q$ koji je tačan samo onda ako su oba suda istinita ili neistinita. Vrijedi zakon komutacije

$P=>Q=Q=>P$ Tablica istinitosti

$<=>$	⊤	⊥
⊤	⊤	⊥
⊥	⊥	⊤

Tautologija

U algebri iskaza koriste se zagrade koje označavaju operacije koje se prve izvršavaju. Negacija je operacija najvišeg prioriteta, zatim konjugacija i disjunkcija, koje su međusobno ravnopravne, pa tek onda ekvivalencija i implikacija, koje su, takođe, međusobno ravnopravne. Iskazne formule su iskazi formirani od drugih iskaza, kao i logičkih operacija i zagrada. Iskazne formule koje su uvijek tačne nazivamo tautologije. Iskazne formule koje su uvijek netačne nazivamo kontradikcije.

Poznatije tautologije

${\begin{cases}(p\land q)<=>(q\land p)\\(p\vee q)<=>(q\vee p)\\(p<=>q)<=>(q<=>p)\end{cases}}$ zakoni komutativnosti

${\begin{cases}(p\land (q\land r))=>((p\land q)\land r)\\(p\vee (q\vee r))=>((p\vee q)\vee r)\end{cases}}$ – zakoni asocijativnosti

${\begin{cases}(p\vee (q\land r))=>((p\vee q)\land (p\vee r))\\p\land (q\vee r))=>((p\land q)\vee (p\land r))\end{cases}}$ – zakoni distribucije

$p\vee \neg p$ - princip isključenja trećeg $\neg (\neg p)>=>p$ - princip dvojne negacije

$(p=>q)<=>(\neg q=>\neg p)$ - pravilo kontrapozicije

$(p=>q)<=>(\neg p\vee q)$ – definicija implikacije

$p\land (p=>q)=>q$ - modus ponens

$(\neg p=>(q\land \neg q))=>p$ - svođenje na protivrečnost (reductio ad absurdum)

$\neg (p\vee q)<=>\neg p\land \neg q$

$\neg (p\land q)<=>\neg p\vee \neg q$ - deMorganovi zakoni

$((p\vee q)\land (p=>r)\land (q=>r))=>r$ - dokaz slučajevima

$((p=>q)\land (q=>r))=>(p=>r)$ - silogizam

Kvantifikatori

Potrebno je još pomenuti i takozvane kvantifikatore (kvantore). Oni označavaju postojanje nekih elemenata koji imaju određenu osobinu. Postoje dva kvantifikatora:

1.Egzistencijalni kvantifikator $\exists x$ (čita se postoji _ takav da...), označava da postoji bar jedan x takav da ima neku određenu osobinu.

2. Univerzalni kvantifikator $\forall$ (čita se za svaki _...), označava da svi elementi imaju određenu osobinu.

Često se kvantifikatori upotrebljavaju u ograničenom smislu, tj. upotrebljavamo ih samo za elemente nekog određenog skupa. Tada za te kvantifikatore kažemo da su ograničenog opsega i to beležimo ($\forall x\in X$) ili ($\exists y\in Y$)

Kvantifikator možemo da negiramo po sledećem pravilu:

• $\neg (\forall x)A<=>(\exists x)\neg A$

Možemo da tumačimo na sljedeći način: Nisu svi x-evi takvi da imaju osobinu A je isto što i da postoji bar jedan x takav da nema osobinu A.

• $\neg (\exists x)A<=>(\forall x)\neg A$

Riječima objašnjeno: Ne postoji x takav da posjeduje osobinu A je isto što i da svaki x nema osobinu A.

Izvor

Elementi matematičke logike

Matematička logika // Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Novom Sadu //Novi Sad, novembar 2012

Uvod u logiku

Nedovršeni članak Elementi matematičke logike koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.