Fibonaccijevi polinomi

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Fibonaccijevi polinomi su polinomski niz koji se može smatrati kao generalizacija Finonaccijevih brojeva.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Ovi polinomi su definisani sa relacijom ponavljanja:

F_n(x)= \begin{cases}
0, & \mbox{ako je} n =  0\\
1, & \mbox{ako je } n =  1\\
x F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x),& \mbox{ako je }  n \geq 2
\end{cases}

Osobine[uredi | uredi izvor]

Prvih par Fibonaccijevih polinoma su:

F_1(x)=1 \,
F_2(x)=x \,
F_3(x)=x^2+1 \,
F_4(x)=x^3+2x \,
F_5(x)=x^4+3x^2+1 \,
F_6(x)=x^5+4x^3+3x \,

Fibonaccijevi brojevi se dobijaju izračunavanjem vrijednosti polinoma u x = 1. Stepen od Fn je n-1. Obična generativna funkcija za niz glasi

 \sum_{m=0}^\infty F_n(x) t^n = \frac{t}{1-xt-t^2} .

Lucasovi polinomi[uredi | uredi izvor]

Odgovarajući Lucasovi polinomi Ln(x) ima slične veze sa Lucasovim brojevima. Oni zadovoljavaju istu relaciju ponavljanja, sa različitim početnim vrijednostima:

L_n(x) = \begin{cases}
2, & \mbox{ako je } n = 0 \\
x, & \mbox{ako je } n = 1 \\
x L_{n - 1}(x) + L_{n - 2}(x), & \mbox{ako je } n \geq 2
\end{cases}

Prvih par Lucasovih polinoma su:

L_1(x)=x \,
L_2(x)=x^2+2 \,
L_3(x)=x^3+3x \,
L_4(x)=x^4+4x^2+2 \,
L_5(x)=x^5+5x^3+5x \,
L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2 + 2 \,

Lucasovi brojevi dobijaju se izračunavanjem polinoma u x = 1. Stepen od Ln je n. Obična generativna funkcija za niz glasi

 \sum_{m=0}^\infty L_n(x) t^n = \frac{2-xt}{1-xt-t^2} .

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Hoggatt, V.E., jun., Bicknell, Marjorie (1973). "Roots of Fibonacci polynomials.". Fibonacci Quarterly 11: 271-274.
  • Ricci, Paolo Emilio (1995). "Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials". Riv. Mat. Univ. Parma, V. Ser. 4: 137-146.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]