Fibonaccijevi polinomi

U matematici, Fibonaccijevi polinomi su polinomski niz koji se može smatrati kao generalizacija Finonaccijevih brojeva.

Definicija

Ovi polinomi su definisani sa relacijom ponavljanja:

$F_n(x)= \begin{cases} 0, & \mbox{ako je} n = 0\\ 1, & \mbox{ako je } n = 1\\ x F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x),& \mbox{ako je } n \geq 2 \end{cases}$

Osobine

Prvih par Fibonaccijevih polinoma su:

$F_1(x)=1 \,$

$F_2(x)=x \,$

$F_3(x)=x^2+1 \,$

$F_4(x)=x^3+2x \,$

$F_5(x)=x^4+3x^2+1 \,$

$F_6(x)=x^5+4x^3+3x \,$

Fibonaccijevi brojevi se dobijaju izračunavanjem vrijednosti polinoma u x = 1. Stepen od F_n je n-1. Obična generativna funkcija za niz glasi

$\sum_{m=0}^\infty F_n(x) t^n = \frac{t}{1-xt-t^2} .$

Lucasovi polinomi

Odgovarajući Lucasovi polinomi L_n(x) ima slične veze sa Lucasovim brojevima. Oni zadovoljavaju istu relaciju ponavljanja, sa različitim početnim vrijednostima:

$L_n(x) = \begin{cases} 2, & \mbox{ako je } n = 0 \\ x, & \mbox{ako je } n = 1 \\ x L_{n - 1}(x) + L_{n - 2}(x), & \mbox{ako je } n \geq 2 \end{cases}$

Prvih par Lucasovih polinoma su:

$L_1(x)=x \,$

$L_2(x)=x^2+2 \,$

$L_3(x)=x^3+3x \,$

$L_4(x)=x^4+4x^2+2 \,$

$L_5(x)=x^5+5x^3+5x \,$

$L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2 + 2 \,$

Lucasovi brojevi dobijaju se izračunavanjem polinoma u x = 1. Stepen od L_n je n. Obična generativna funkcija za niz glasi

$\sum_{m=0}^\infty L_n(x) t^n = \frac{2-xt}{1-xt-t^2} .$

Reference

• Hoggatt, V.E., jun., Bicknell, Marjorie (1973). "Roots of Fibonacci polynomials.". Fibonacci Quarterly 11: 271-274.
• Ricci, Paolo Emilio (1995). "Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials". Riv. Mat. Univ. Parma, V. Ser. 4: 137-146.

Vanjski linkovi

• Eric W. Weisstein, Fibonacci Polynomial na MathWorld-u.
• Eric W. Weisstein, Lucas Polynomial na MathWorld-u.