Teorem gradijenta

Gradijentna teorema, poznata i po nazivu fundamentalna teorema matematičke analize za linijske integrale, kaže da se linijski integral kroz gradijentno polje (bilo koje konzervativno vektorsko polje može se izraziti kao gradijent) može izračunati izračunavanjem originalnog skalarnog polja na krajevima krive linije:

$\phi\left(\mathbf{q}\right)-\phi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\phi\cdot d\mathbf{r}$

Gradijentna teorema implicira da su linijski integrali kroz konzervativno vektorsko polje nezavisni. U fizici ovaj teorem je jedan od načina za definisanje "konzervativne" sile. Stavljajući $\phi$ kao potencijal, $\nabla\phi$ je konzervativna sila. Rad konzervativne sile ne zavisi od pređenog puta tijela, nego samo od krajnjih tačaka, kako to gornja jednčina i pokazuje. Primjer ovakve sile je gravitacija.

Dokaz

Neka je $\phi$ 0-forma (skalarno polje).

Neka je L 1-segment (krive) od p do q.

Prema Stokesovom teoremu

$\int_{\partial L} \phi = \int_L d\phi$

Međutim, pošto je $\partial L = \mathbf q - \mathbf p$,

$\phi\left(\mathbf{q}\right)-\phi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L d\phi$

Svođenjem krive na Euklidov prostor i proširivanjem na pravougle koordinate:

$d\phi = \sum_i \frac{\partial \phi}{\partial x_i} dx_i = \left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)\phi\cdot\left(dx_i\right) = \nabla\phi\cdot d\mathbf{r}$

Nedovršeni članak Teorem gradijenta koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.