Hardyjeva nejednakost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)

Hardyjeva nejednakost je nejednakost u matematici, koja je dobila naziv po G. H. Hardyju. Ona iskazuje da ako je a_1, a_2, a_3, \dots niz nenegativnih realnih brojeva koji nisu identički jednaki nuli, tada, za svaki realan broj p > 1, imamo da je

\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right )^p<\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p.

Integralna verzija Hardyjeve nejednakosti kaže da ako je f integrabilna funkcija sa nenegativnim vrijednostima, tada je

\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\operatorname{ d}x\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.

Isto važi ako i samo ako je f(x) = 0 skoro svuda.

Hardyjeva nejednakost prvo je objavljena (bez dokaza) 1920. godine u Hardyjevin bilješkama[1]. Originalna formulacija bila je integralna, koja se malo razlikovala od gore nevedenog oblika.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Hardy, G.H., Note on a Theorem of Hilbert, Math. Z. 6 (1920), 314–317.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Hardy, G. H.; Littlewood. J.E.; Pólya, G. (1952). Inequalities, 2nd ed, Cambridge University Press ISBN 0521358809.
  • Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik (2003). Weighted inequalities of Hardy type, World Scientific Publishing ISBN 9812381953.