Harmonijski red (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, harmonijski red je beskonačni red

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.\!

Njegovo ime potiče iz koncepta harmonika, u muzici: talasne dužine harmonika vibrirajuće žice su 1/2, 1/3, 1/4, itd., osnovne talasne dužine. Svaki član reda nakon prvog je harmonijska sredina susjednih članova.

Divergencija harmonijskog reda[uredi | uredi izvor]

Harmonijski red divergira u beskonačnost, iako to radi prilično sporo (suma prvih 1043 članova iznosi manje od 100). Jedan od načina da dokažemo ovu divergenciju je da uočimo da je harmonijski red član po član veći ili jednak drugom divergentnom redu:


\begin{align}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots.
\end{align}

Suma beskonačno mnogo 12 očito divergira u beskonačnost, što znači da i harmonijski red divergira. Preciznije, ako je s_{2^k} 2k-ta parcijalna suma harmonijskog reda, tada je

s_{2^k} \ge 1 + {k \over 2},

što očito divergira, ali sporo (po logaritamskom pravilu). Ovaj dokaz, zahvaljujući Nicoleu Oresmeu, je vrhunac srednjovijekovne matematike. Ovo je još uvijek standardni dokaz koji se i danas obrađuje na časovima matematike .

Drugi dokaz koristi Cauchyjev integralni test konvergencije, koji poredi harmonisjki red sa (divergentnim) integralom 1x u graicama od 1 do beskonačnosti.

Čak i suma recipročnih prostih brojeva divergira u beskonačnost, iako to čini sporije; poznati dokazi ove činjenice su mnogo teži.

Konvergencija alternativnog harmonijskog reda[uredi | uredi izvor]

Prvih četrnaest parcijalnih suma alternativnog harmonijskog reda (segmenti srnih linija) prikazani kako konvergiraju prema prirodnom logaritmu od 2 (crvena linija).

Alternativni harmonijski red konvergira:


\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots 
= \ln 2 = 0.6931471806\dots\,.

Ova jednakost posljedica je Mercatorovog reda, Taylorovog reda za prirodni logaritam. Druga jednakost, slična po formi Mercatorovom redu, je:


\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} -\frac{1}{7} +\cdots = \arctan (1 )=\frac{\pi}{4}.\!

Ovo je posljedica predstavljanja Taylorovog reda [[inverzne trigonometrijske funkcije|funkcije tangensa (koja ima radijus konvergencije 1).

Parcijalne sume[uredi | uredi izvor]

ntta parcijalna suma divergentnog harmonijskog reda,

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!

naziva se n-ti harmonijski broj.

Razlika između n-tog harmonijskog borja i prirodnog logaritma od n konvergira u vrijednost Euler-Mascheroniove konstante.

Razlika između različitih harmonijskih brojava nikada nije cijeli broj.

Jeffrey Lagarias je, 2001. godine, dokazao da je Riemannova hipoteza logički jednaka iskazu

\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \text{ za svako }n \in \mathbb{N}, \!

gdje σ(n) označava pozitivne djelioce broja n.[1]

Opći harmonijski red[uredi | uredi izvor]

Opći harmonijski red je red u obliku

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b}.\!

Svi opći harmonijski redovi divergiraju.

p-red[uredi | uredi izvor]

p-red je red oblika

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},\!

za svaki pozitivan realan broj p. Red je uvijek konvergentan ako je p > 1 (u tom slučaju naziva se hiperharmonijski red), dok je divergentan u ostalim slučajevima. Za slučaj p = 1, red postaje harmonijski red. Ako je p > 1 tada je suma red ζ(p), npr., Riemannova zeta-funkcija izračunata u p.

Slučajni harmonijski red[uredi | uredi izvor]

Byron Schmuland sa Univerziteta u Alberti ispitao je[2][3] osobine slučajnog harmonijskog reda

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},\!

gdje su sn nezavisne, identično raspoređene slučajne promjenljive koje imaju vrijednost +1 i −1, sa jednakom vjerovatnoćom od 12. Pokazao je da ova suma konvergira sa vjerovatnoćom 1, te da je konvergentna slučajna promjeljiva sa nekim interesantnim osobinama. Na primjer, funkcija gustine ove slučajne varijable je izračunata da na +2 ili na −2 ima vrijednost 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ..., razlikujući se od 18 za manje od 10−42. Schmulandov rad objašnjava zašto je ova vjerovatnoća blizu, ali ne iznosi tačno 18.

"Iscrpljeni" harmonijski red[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Kempnerov red

Za "iscrpljeni" harmonijski red, gdje su svi članovi sa brojem 9 u nazivniku uklonjeni, može se pokazati da konvergira, te da je njegova vrijednost manja od 80.[4] U stvari, kada se bilo koji član, koji sadrži neki niz brojeva, ukljoni, red opet konvergira.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pages 534--543.
  2. ^ "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
  3. ^ Schmuland's preprint of Random Harmonic Series
  4. ^ Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72
Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: