Hidrostatička ravnoteža

Hidrostatička ravnoteža dešava se kada se pritisak zbog gravitacije uravnoteži sa gradijetom pritiska, koji pravi silu gradijenta pritiska u suprotnom smijeru. Ravnoteža ove dvije sile poznata je kao hidrostatička ravnoteža.

Matematičko razmatranje

Ako se označena zapremina plina ne kreće, sile koje djeluju odozgo moraju biti jednake silama koje djeluju odzodo

Za zapreminu fluida koji se ne kreće ili koji je u stanju konstantnog kretanja, Newtonovi zakoni iskazuju da suma tih sila mora biti jednaka nuli – sile koja djeluje odozgo moraju biti jednake silama koje djeluju odozdo.

Sada možemo rastaviti plin u veliki broj elemenata zapremine odblika kvadra. Razmatrajući samo jedan od tih elemenata, možemo odrediti šta se gešava sa cjelokupnim plinom.

Postoje 3 sile:

Sila, koja djeluju odozgo na vrh elementarnog kvadra, a koje nastaje zbog pritiska P fluida iznad, iznosi, prema definiciji pritiska,

$F_{odozgo} = P_{odozgo} \cdot A$

Slično, sile na element zapremine od pritiska fluida ispod, koji djeluju odozdo, iznosi

$F_{odozdo} = - P_{odozdo} \cdot A$

U ovoj jednačini, znak minus imamo zbog smijera sila.

Konačno, težina zapremine elementa zapremine uzrokuje silu koja djeluj prema dole. Ako je gustoća ρ, zapremina V, a g standardna gravitacija, tada je:

$F_{tezina} = \rho \cdot g \cdot V$

Zapreminu elementa možemo napisati kao proizvod površine gornje ili donje strane elementarnog kvadra i visine tog elementa.

$F_{tezina} = \rho \cdot g \cdot A \cdot h$

Uravnotežujući ove sile, ukupna sila na plin iznosi

$F_{ukupno} = F_{odozgo} + F_{odozdo} + F_{tezina} = P_{odozgo} \cdot A - P_{odozdo} \cdot A + \rho \cdot g \cdot A \cdot h$

Za rezultat imamo nulu, ako se plin ne kreće. Ako sve podijelimo sa A, dobijamo

$0 = P_{odozgo} - P_{odozdo} + \rho \cdot g \cdot h$

ili

$P_{odozgo} - P_{odozdo} = - \rho \cdot g \cdot h$

P_top − P_bottom je razlika u pritisku, a h je visina elementa zapremine – promjena udaljenosti od površine. Ako kažemo da su ove promejene infinitezimalno male, jednačina se može napisati u diferencijalnom obliku.

$dP = - \rho \cdot g \cdot dh$

Gustoća se mijenja sa pritiskom, a gravitacija se mijenja sa visinom, tako da će jednačina glasiti:

$dP = - \rho(P) \cdot g(h) \cdot dh.$

Uočite da se ova posljednja jednačina može derivirati rješavanjem trodimenzionalnih Navier-Stokesovih jednačina za stanje ravnoteže, gdje imamo da je

$u=v=\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y}=0.$

Tada dobijamo da je jedina netrivijalna jednačina ona po z, iz koje dobijamo da je

$\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g=0.$

Tako se dokazuje da se hidrostatička ravnoteža može smatrati prilično jednostavno rješenje ravnoteže Navier-Stokesovih jednačina.

Primjene

Fluidi

Hidrostatička ravnoteža odnosi se na hidrostatiku i na principe ravnoteže fluida. Hidrostatička ravnoteža pradstavlja ravnotežu substanci, koje imaju svoju težinu, u vodi. Hidrostatička ravnoteža dopušta oktrivanje specifične gravitacije tih substanci.

Također pogledajte

• Statika

Reference

• Strobel, Nick. (May, 2001). Nick Strobel's Astronomy Notes.