Integro-diferencijalna jednačina

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Integro-diferencijalna jednačina je jednačina koja uključuje i integrale i derivacije funkcije.

Opšta linearna integro-diferencijalna jednačina prvog reda ima oblik


\frac{d}{dx}u(x) + \int_{x_0}^x f(t,u(t))\,dt = g(x,u(x)), \qquad u(x_0) = u_0, \qquad x_0 \ge 0.

Kao što je tipično kod diferencijalnih jednačina, dobijanje rješenja zatvorenog oblika može često biti teško. U relativno malo slučajeva gdje se rješenje može naći, često se koristi neka vrsta integralne transformacije, gdje se problem prvo transformiše u algebarski. U takvim situacijama, rješenje problema može se dobiti primjenom inverzne transformacije na tu algebarsku jednačinu.

Primjer[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo sljedeći problem prvog reda,


u'(x) + 2u(x) + 5\int_{0}^{x}u(t)\,dt = 
\left\{ \begin{array}{ll}
         1, \qquad x \geq 0\\
         0, \qquad x < 0 \end{array} 
\right. \qquad \text{with} \qquad u(0)=0.

Laplaceova transformacija je definisana preko,

 U(s) = \mathcal{L} \left\{u(x)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-sx} u(x) \,dx.

Nakon Laplaceova transformacije član po član i korištenja pravila za derivaciju i integraciju, integro-diferencijalna jednačina se prebacuje u sljedeću algebarsku jednačinu,

 s U(s) - u(0) + 2U(s) + \frac{5}{s}U(s) = \frac{1}{s}.

Time je,

 U(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 5} .

Inverznom Laplaceovom transformacijom korištenjem metoda konturne integracije dobijamo

 u(x) = \frac{1}{2} e^{-x} \sin(2x) .

Primjene[uredi | uredi izvor]

Integro-diferencijalne jednačine opisuju mnoge situacije iz nauke i inženjerstva. Posebna važna oblast primjene je kod analize električnih kola.

Aktivnost međudjelujućih inhibitorskih i ekscitacijskih neurona može se opisati sistemom integro-diferencijalnih jednačina (pogledajte kao primjer članak Wilson-Cowanov model).

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Theory of Integro-Differential Equations”, CRC Press, 1995