Integro-diferencijalna jednačina

Integro-diferencijalna jednačina je jednačina koja uključuje i integrale i derivacije funkcije.

Opšta linearna integro-diferencijalna jednačina prvog reda ima oblik

$\frac{d}{dx}u(x) + \int_{x_0}^x f(t,u(t))\,dt = g(x,u(x)), \qquad u(x_0) = u_0, \qquad x_0 \ge 0.$

Kao što je tipično kod diferencijalnih jednačina, dobijanje rješenja zatvorenog oblika može često biti teško. U relativno malo slučajeva gdje se rješenje može naći, često se koristi neka vrsta integralne transformacije, gdje se problem prvo transformiše u algebarski. U takvim situacijama, rješenje problema može se dobiti primjenom inverzne transformacije na tu algebarsku jednačinu.

Primjer

Razmotrimo sljedeći problem prvog reda,

$u'(x) + 2u(x) + 5\int_{0}^{x}u(t)\,dt = \left\{ \begin{array}{ll} 1, \qquad x \geq 0\\ 0, \qquad x < 0 \end{array} \right. \qquad \text{with} \qquad u(0)=0.$

Laplaceova transformacija je definisana preko,

$U(s) = \mathcal{L} \left\{u(x)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-sx} u(x) \,dx.$

Nakon Laplaceova transformacije član po član i korištenja pravila za derivaciju i integraciju, integro-diferencijalna jednačina se prebacuje u sljedeću algebarsku jednačinu,

$s U(s) - u(0) + 2U(s) + \frac{5}{s}U(s) = \frac{1}{s}.$

Time je,

$U(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 5}$.

Inverznom Laplaceovom transformacijom korištenjem metoda konturne integracije dobijamo

$u(x) = \frac{1}{2} e^{-x} \sin(2x)$.

Primjene

Integro-diferencijalne jednačine opisuju mnoge situacije iz nauke i inženjerstva. Posebna važna oblast primjene je kod analize električnih kola.

Aktivnost međudjelujućih inhibitorskih i ekscitacijskih neurona može se opisati sistemom integro-diferencijalnih jednačina (pogledajte kao primjer članak Wilson-Cowanov model).

Također pogledajte

• Diferencijalna jednačina
• Parcijalna diferencijalna jednačina
• Laplaceova transformacija
• Integrodiferentna jednačina

Vanjski linkovi

• Interactive Mathematics
• Numeričko rješenje primjera korištenjem Chebfuna

Reference

• Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Theory of Integro-Differential Equations”, CRC Press, 1995