Inverzna funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Funkcija ƒ i njena inverzija ƒ–1. Pošto ƒ preslikava a u 3, inverzna ƒ–1 preslikava 3 nazad u a.

U matematici, ako je ƒ funkcija od A do B, tada je inverzna funkcija od ƒ funkcija u suprotnom smijeru, od B do A, sa osobinom da je kompozicija) od A do B do A (ili od B do A do B) vraća svaki element početnog skupa u njega samoga. Zbog toga, ako za argument x u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije y, tada za vrijednost argumenta y u inverznoj funkciji ƒ−1 (čitajte: f inverzno, a ne miješati sa stepenovanjee) dobijamo vijednost inverzne funkcijex, dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Svaka funkcija nema svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzne funkcije.

Na primjer, neka ƒ bude funkcija koja konvertuje temperaturu u stepenima Celzijusa u temperaturu u stepenima Fahrenheita:

 f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!

tada njena inverzna funkcija konvertuje stepen Fahrenheita u stepena Celzijusa:

 f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) . \,\!

Definicije[uredi | uredi izvor]

Ako ƒ preslikava X u Y, tada ƒ–1 preslikava Y nazad u X.

Neka ƒ bude funkcija čiji je domen u skupu X, te čija je oblast skup Y. Tada, ako postoji, 'inverzna funkcija od ƒ je funkcija ƒ–1 sa domenom Y i oblasti X, definisana slijedećim pravilom:

\text{If }f(x) = y\text{, then }f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!

Osobine[uredi | uredi izvor]

Jedinstvenost[uredi | uredi izvor]

Ako inverzna funkcija postoji za datu funkciju ƒ, ona je jedinstvena za tu datu funkciju, tj. postoji samo jedna inverzna funkcija zadate funkcije ƒ: mora postojati inverzna relacija.

Simetrija[uredi | uredi izvor]

Postoji simetričnost između funkcije i njene inverzije. Specifično, ako je ƒ–1 inverzna funkcija od funkcije ƒ, tada je inverzna funkcija od ƒ–1 originalna funkcija ƒ. U simbolima:

\begin{align}
 &\text{If }   &f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,} \\
 &\text{then } &f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y\text{.}
\end{align}

Ovo slijedi jer je inverzija relacija involucija: ako se ponavlja, vraćate se gdje ste počeli.

Ovaj iskaz je očita posljedica gore objašnjene dedukcije da funkcija, za slučaj da ƒ bude inverzabilna, mora biti injetivna (prva definicija inverzne funkcije) ili bijektivna (druga definicija). Osobina simetrije može se sažeto izraziti slijedećom formulom:

\left(f^{-1}\right)^{-1} = f . \,\!

Inverzija kompozicije funkcija[uredi | uredi izvor]

Inverzna funkcija od g o ƒ je funkcija ƒ–1 o g–1.

Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom

(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}

Primijetimo da je redoslijed ƒ i g zamijenjen; da bi riješili g, koju prati ƒ, prvo moramo riješiti ƒ, pa onda g.

Na primjer, neka je ƒ(x) = x + 5, i neka je g(x) = 3x. Tada je kompozicija ƒ o g funkcija koja argument prvo množi sa tri, a zatim dodaje pet:

(f \circ g)(x) = 3x + 5

Kako bi obrnuli proces, najprije moramo prebaciti pet na lijevu stranu, a zatim sve podijeliti sa tri:

(f \circ g)^{-1}(y) = \tfrac13(y - 5)

Ovo je kompozicija g–1 o ƒ–1) (y).

Samoinverzija[uredi | uredi izvor]

Ako je X skup, tada je funkcija identiteta na skupu X svoja vlastita inverzna funkcija:

\mathrm{id}_X^{-1} = \mathrm{id}_X

Općenitije, funkcija ƒ: XX je jednaka vlastitoj inverznoj funkciji ako i samo ako je kompozicija ƒ o ƒ jednaka idx. Takva funkcija se naziva involucija.

Inverzi u kalkulusu[uredi | uredi izvor]

Kalkulus jedne varijable primarno se koncentriše na funkcije koje preslikavaju realne brojeve u realne brojeve. Takve funkcije su često definisane preko formula, kao što su:

f(x) = (2x + 8)^3 . \,\!

Funkcija ƒ iz realnih brojeva u realne brojeve posjeduje inverznu funkciju sve dok grafik funkcije prolazi test horizontalne linije.

Ova tabela prikazuje nekoliko standardnih funkcija i njihovi inverza:

Funkcija ƒ(x) Inverzna ƒ–1(y) Napomena
x + a ya
ax ay
mx y / m m ≠ 0
1 / x 1 / y x, y ≠ 0
x2 \sqrt{y} samo x, y ≥ 0
x3 \sqrt[3]{y} bez restrikcija na x and y
xp y1/p (npr. \sqrt[p]{y}) x, y ≥ 0 općenito, p ≠ 0
ex ln y y > 0
ax loga y y > 0 i a > 0
trigonometrijske funkcije inverzne trigonometrijske funkcije razne restrikcije (pogledajte tabelu ispod)

Formula za inverznu funkciju[uredi | uredi izvor]

Jedan od pristupa za pronalaženje formule za ƒ–1, ako ona postoji, je da se riješi jednačina y = ƒ(x) za x. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

f(x) = (2x + 8)^3 \,\!

tada moramo riješiti jednačinu y = (2x + 8)3}} za x:

\begin{align}
      y         & = (2x+8)^3 \\
  \sqrt[3]{y}   & = 2x + 8   \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x       \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .
\end{align}

Tako je inverzna funkcija ƒ–1 data formulom

f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!

Ponekad se inverzna funkcija ne može izraziti preko formule. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

f(x) = x + \sin x , \,\!

tada je ƒ injetivna, i zbog toga posjeduje inverznu funkciju ƒ–1. Ne postoji jednostavna formula za ovu inverznu funkcju, pošto se jednačina y = x + sin x ne može riješiti algebarski za x.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]