Inverzna funkcija

Funkcija ƒ i njena inverzija ƒ^–1. Pošto ƒ preslikava a u 3, inverzna ƒ^–1 preslikava 3 nazad u a.

U matematici, ako je ƒ funkcija od A do B, tada je inverzna funkcija od ƒ funkcija u suprotnom smijeru, od B do A, sa osobinom da je kompozicija) od A do B do A (ili od B do A do B) vraća svaki element početnog skupa u njega samoga. Zbog toga, ako za argument x u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije y, tada za vrijednost argumenta y u inverznoj funkciji ƒ^–1 (čitajte: f inverzno, a ne miješati sa stepenovanjee) dobijamo vijednost inverzne funkcijex, dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Svaka funkcija nema svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzne funkcije.

Na primjer, neka ƒ bude funkcija koja konvertuje temperaturu u stepenima Celzijusa u temperaturu u stepenima Fahrenheita:

$f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!$

tada njena inverzna funkcija konvertuje stepen Fahrenheita u stepena Celzijusa:

$f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) . \,\!$

Definicije

Ako ƒ preslikava X u Y, tada ƒ^–1 preslikava Y nazad u X.

Neka ƒ bude funkcija čiji je domen u skupu X, te čija je oblast skup Y. Tada, ako postoji, 'inverzna funkcija od ƒ je funkcija ƒ^–1 sa domenom Y i oblasti X, definisana slijedećim pravilom:

$\text{If }f(x) = y\text{, then }f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!$

Osobine

Jedinstvenost

Ako inverzna funkcija postoji za datu funkciju ƒ, ona je jedinstvena za tu datu funkciju, tj. postoji samo jedna inverzna funkcija zadate funkcije ƒ: mora postojati inverzna relacija.

Simetrija

Postoji simetričnost između funkcije i njene inverzije. Specifično, ako je ƒ^–1 inverzna funkcija od funkcije ƒ, tada je inverzna funkcija od ƒ^–1 originalna funkcija ƒ. U simbolima:

$\begin{align} &\text{If } &f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,} \\ &\text{then } &f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y\text{.} \end{align}$

Ovo slijedi jer je inverzija relacija involucija: ako se ponavlja, vraćate se gdje ste počeli.

Ovaj iskaz je očita posljedica gore objašnjene dedukcije da funkcija, za slučaj da ƒ bude inverzabilna, mora biti injetivna (prva definicija inverzne funkcije) ili bijektivna (druga definicija). Osobina simetrije može se sažeto izraziti slijedećom formulom:

$\left(f^{-1}\right)^{-1} = f . \,\!$

Inverzija kompozicije funkcija

Inverzna funkcija od g o ƒ je funkcija ƒ^–1 o g^–1.

Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom

$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$

Primijetimo da je redoslijed ƒ i g zamijenjen; da bi riješili g, koju prati ƒ, prvo moramo riješiti ƒ, pa onda g.

Na primjer, neka je ƒ(x) = x + 5, i neka je g(x) = 3x. Tada je kompozicija ƒ o g funkcija koja argument prvo množi sa tri, a zatim dodaje pet:

$(f \circ g)(x) = 3x + 5$

Kako bi obrnuli proces, najprije moramo prebaciti pet na lijevu stranu, a zatim sve podijeliti sa tri:

$(f \circ g)^{-1}(y) = \tfrac13(y - 5)$

Ovo je kompozicija g^–1 o ƒ^–1) (y).

Samoinverzija

Ako je X skup, tada je funkcija identiteta na skupu X svoja vlastita inverzna funkcija:

$\mathrm{id}_X^{-1} = \mathrm{id}_X$

Općenitije, funkcija ƒ: X → X je jednaka vlastitoj inverznoj funkciji ako i samo ako je kompozicija ƒ o ƒ jednaka id_x. Takva funkcija se naziva involucija.

Inverzi u kalkulusu

Kalkulus jedne varijable primarno se koncentriše na funkcije koje preslikavaju realne brojeve u realne brojeve. Takve funkcije su često definisane preko formula, kao što su:

$f(x) = (2x + 8)^3 . \,\!$

Funkcija ƒ iz realnih brojeva u realne brojeve posjeduje inverznu funkciju sve dok grafik funkcije prolazi test horizontalne linije.

Ova tabela prikazuje nekoliko standardnih funkcija i njihovi inverza:

Funkcija ƒ(x)	Inverzna ƒ–1(y)	Napomena
x + a	y – a
a – x	a – y
mx	y / m	m ≠ 0
1 / x	1 / y	x, y ≠ 0
x2	$\sqrt{y}$	samo x, y ≥ 0
x3	$\sqrt[3]{y}$	bez restrikcija na x and y
xp	y1/p (npr. $\sqrt[p]{y}$)	x, y ≥ 0 općenito, p ≠ 0
ex	ln y	y > 0
ax	loga y	y > 0 i a > 0
trigonometrijske funkcije	inverzne trigonometrijske funkcije	razne restrikcije (pogledajte tabelu ispod)

Formula za inverznu funkciju

Jedan od pristupa za pronalaženje formule za ƒ^–1, ako ona postoji, je da se riješi jednačina y = ƒ(x) za x. Na primjer, ako je ƒ funkcija

$f(x) = (2x + 8)^3 \,\!$

tada moramo riješiti jednačinu y = (2x + 8)³}} za x:

$\begin{align} y & = (2x+8)^3 \\ \sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\ \sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\ \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x . \end{align}$

Tako je inverzna funkcija ƒ^–1 data formulom

$f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!$

Ponekad se inverzna funkcija ne može izraziti preko formule. Na primjer, ako je ƒ funkcija

$f(x) = x + \sin x , \,\!$

tada je ƒ injetivna, i zbog toga posjeduje inverznu funkciju ƒ^–1. Ne postoji jednostavna formula za ovu inverznu funkcju, pošto se jednačina y = x + sin x ne može riješiti algebarski za x.

Također pogledajte

• Inverzna trigonometrijska funkcija
• Logaritam
• Teorem inverzne funkcije
• Inverzne funkcije i diferencijacije
• Inverzna relacija
• Inverzni element

Reference

• Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 0914098896 
• Stewart, James (2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397