Inverzna hiperbolička funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)
funkcija artanh.

Inverzi hiperboličkih funkcija su površinske hiperboličke funkcije. Naziv dolatzi iz činjenice da one izračunavaju površinu sektor jedinične hiperbole x^{2} - y^{2} = 1 na isti način na koji neke inverzne trigonometrijske funkcije izračunavaju dužinu luka sektora jediničnog kruga x^{2} + y^{2} = 1. Najčešća skraćenica za njih u matematici je arsinh, arcsinh (u USA-a) ili asinh (u računarstvu). Oznake sinh-1 (x), cosh-1(x) itd. se, također, koriste, uprkos činjenici da se mora voditi računa kako bi se izbjeglo pogrešno shvatanje eksponenta -1 kao stepena, a ne kao skrećene oznake za inverznu funkciju. Skraćenice arcsinh, arccosh itd. se najčešće koriste, iako to nije pravilno, pošto je prefiks arc skraćenica za arcus, dok prefiks ar označava površinu.[1]

Vrijednosi inverznih hiperboličkih funkcija su hiperbolički uglovi.

Logaritamsko predstavljanje[uredi | uredi izvor]

Operatori su definisani u kompleksnoj ravni kao:


  \begin{align}
    \operatorname{arsinh}\, x &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}),
    \\[2.5ex]
    \operatorname{arcosh}\, x &= \ln(x + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1}),
    \\[1.5ex]
    \operatorname{artanh}\, x &= \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right)
                               = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right),
    \\
    \operatorname{arcsch}\, x &= \ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right),
    \\
    \operatorname{arsech}\, x &= \ln\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x}\right),
    \\
    \operatorname{arcoth}\, x &= \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}.
  \end{align}

gornji kvadratni korijeni su osnovni kvadratni korijeni. Za realne argumente koji daje realnu vrijednost, mogu se naći određena pojednostavljenja, npr. \sqrt{x - 1}\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-1}, koji, u općenom slučaju, nije tačno, kada se koriste osnovni kvadratni korijeni.

Inverzne hiperboličke funkciej u kompleksnoj ravni
Complex ArcSinh.jpg
Complex ArcCosh.jpg
Complex ArcTanh.jpg
Complex ArcCoth.jpg
Complex ArcSech.jpg
Complex ArcCsch.jpg

\operatorname{arsinh}(z)

\operatorname{arcosh}(z)

\operatorname{artanh}(z)

\operatorname{arcoth}(z)

\operatorname{arsech}(z)

\operatorname{arcsch}(z)

Proširenja u redove[uredi | uredi izvor]

Za gornje funkcije mogu se dobiti njihova proširenja u redove:

\operatorname{arsinh}\, x
= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arcosh}\, x
= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)
= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1
\operatorname{artanh}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh}\, x^{-1}
= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}
= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)
= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1
\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}
= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1

Asimptotsko proširenje za arsinh x je dato sa

\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}

Derivacije[uredi | uredi izvor]


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
\end{align}

For real x:


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
\end{align}

Primjer derivacije: Neka je θ = arsinh x, tako da je:

\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ As stated by Jan Gullberg, Mathematics: From the Birth of Numbers (New York: W. W. Norton & Company, 1997), ISBN 0-393-04002-X, pg. 539:

    Another form of notation, arcsinh x, arccosh x, etc., is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with arc, but with area, as is demonstrated by their full Latin names,

    arsinh     area sinus hyperbolicus
    arcosh     area cosinus hyperbolicus, etc.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]