Iracionalan broj

Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.

Primjeri (transcedentnih) iracionalnih brojeva su:

$e \approx 2.71828 18284 59045 23536 02874...$

$\pi \approx 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923...$

Algebarski iracionalni brojevi su korijen iz 2, 3, 5...

Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnoj pravoj ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo tačaka (iracionalnih brojeva)) koji se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu srazmjerne s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz   √2 na brojevnoj pravoj.

Euklidov dokaz

Euklid je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na slijedeći način:

• dopustimo da korijen od 2 jest racionalan.
• onda je √2 = n/m, gdje n i m su cijeli brojevi koji nemaju općeg djelioca (jer bi ga inače mogli skratiti). Ali onda $\frac{n^2}{m^2} = 2$, $n^2 = 2m^2$, gdje n i m su cijeli brojevi. Vidi se jasno da se $n^2$ dijeli na 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da se i n dijeli na 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji se dijele na 2 ($4^2 = 16$, na primjer, ali $5^2 = 25$; dokaz nije složen).
• Sad je pitanje: je li m paran ili ne? Ako se n dijeli na 2, onda $n = 2r$, i $(2r)^2 = 2m^2$, $4r^2 = 2m^2$. Ovo pak znači $2r^2 = m^2$ i m je dijeljivo na 2. Ali sad smo došli do zaključka da se i m i n dijele na 2, pa razlomak nije u najprostijem obliku; došli smo do kontradikcije -> korijen iz 2 je iracionalan.