Kompozicija funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, kompozicija funkcija formirana kompozicijom jedne funkcije drugom, predstavlja primjenu prve funkcije na rezultat primjene druge na argument. Funkcije fX → Y i gY → Z se mogu komponovati tako što se prvo primjeni funkcija f na argument x i potom primjeni funkcija g na rezultat prethodne primjene. Na taj se način dobija funkcija g o f: X → Z definisana sa (g o f)(x) = g(f(x)) za svaki x u X. Notacija g o f se čita kao "g kružić f" ili "g komponovano sa f".

g o f, kompozicija f i g

Kompozicija funkcija je uvijek asocijativna. To jest, ako su f, g i h tri funkcije sa odgovarajuće odabranim domenama i kodomenama, tada je f o (g o h) = (f o go h. Budući da je svejedno gdje se stavljaju zagrade, mogu se slobodno izostaviti, bez uticaja na konačni izračun.

Kao posljedica toga skup bijektivnih funkcija fX → X formmira grupu u odnosu na operator kompozicije.

Funkcije g i f komutiraju jedna sa drugom ako g o f = f o g. Općenito kompozicija funkcija nije komutativna. Komutativnost je specifična osobina koje imaju samo pojedine funkcije u posebnim okolnostima. Naprimjer, (\sqrt x)^2 = \sqrt{x^2} samo kad x \ge 0; za svaki negativni x je prvi izraz nedefiniran. (Ali inverzne funkcije uvijek komutiraju i pritom stvaraju identitetu.

Primjer[uredi | uredi izvor]

Neka je visina aviona u vremenu t dana funkcijom h(t) i neka je koncentracija kisika na visini x dana funkcijom c(x). Tada izraz (c o h)(t) opisuje koncentraciju kisika uokolo zrakoplova u vremenu t.

Funkcijske potencije[uredi | uredi izvor]

Ako YX tada se funkcija f: XY može komponovati sama sa sobom. Ovo se ponekad označava sa f 2. Shodno tome:

(f o f)(x) = f(f(x)) = f 2(x)
(f o f o f)(x) = f(f(f(x))) = f 3(x)

Ponavljana kompozicija funkcije samom sobom se zove iteracija funkcije.

Korištenjem definirane notacije lako dobijamo funkcijske potencije f o f nf n o ff n+1 za prirodne n

  • Dogovorno je f 0 = idD(f) (identiteta nad domenom funkcije f).
  • Ako funkcija f:XX ima inverznu funkciju, negativne funkcijske potencije f -k (k > 0) su definisane kao suprotne potencije inverzne funkcije, (f −1)k.

Iterirane funkcije se prirodno pojavljuju prilikom proučavanja fraktala i dinamičkih sistema.

Operator kompozicije[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Operator kompozicije

Za danu funkciju g, operator kompozicije C_g je definisan kao operator koji preslikava funkcije na funkcije

C_g f = f \circ g

Operatori kompozicije su predmet proučavanja matematičke discipline zvane teorija operatora.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]