Konjugovano kompleksan broj

U matematici, konjugovano kompleksan broj je broj kome je promijenjen znak imaginarnog dijela, tj. konjugat broja $z=a+ib$ gdje $a,b\in\mathbb R$ je broj $\bar z=a-ib$. Često se koristi i oznaka $\bar{z}$.

Primjer: $\overline{(3-2i)} = 3 + 2i$, $\bar i = -i$ i $\bar 7=7$.

Ukoliko posmatramo kompleksni broj kao tačku u ravni, konjugat kompleksnog broja bio bi predstavljen njegovim odrazom od x-ose (pošto se na y-osi nalazi imaginarni dio).

Svojstva

Svojstva se odnose na sve kompleksne brojeve ukoliko nije drugačije rečeno.

$\overline{(z + w)} = \bar z + \bar w$

$\overline{(zw)} = \bar z \bar w$

$\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}$ ako je w različit od 0

$\bar z = z$ ако је z реалан број

$\left| \bar z \right| = \left| z \right|$

${\left| z \right|}^2 = z\bar z$

$z^{-1} = \frac{\bar z}{{\left| z \right|}^2}$ ako je z različit od 0

Ukoliko je $p\,$ polinom sa realnim koeficijentima, i ukoliko je $p(z) = 0\,$, тада је и $p(\bar z) = 0$, tj. korijeni polinoma sa realnim koeficijentima se pojavljuju kao konjugovani kompleksni brojevi ukoliko nisu na realnoj pravoj.