Konvekacijsko-difuziona jednačina

Konvekacijsko-difuziona jednačina je parabolička parcijalna diferencijalna jednačina, koja opisuje fizikalni fenomen kada se čestice ili energija (ili druge fizikalne veličine) prenose unutar fizikalnog sistem zbog dva procesa: difuzije i konvekcije. U najjednostavnijem obliku (kada su koeficijent difuzije i brzina konvekcije konstantne vrijednosti), jednačina ima oblik

$\big. \partial _t u = D\, \nabla ^2 u - v\, \nabla u.$

Dva člana sa desne strane predstavljaju različite fizikalne procese: prvi odgovara normalnoj difuziji, dok drugi opisuje konvekciju. Konstanta D je koeficijent difuzije, dok je v brzina konvekcije.

Derivacija

Konvekacijsko-difuziona jednačina može se jasno derivirati iz jednačine kontinuiteta, koja kaže da do promjene u gustini u bilo kojem dijelu sistema dolazi zbog protoka i materije, koja ulazi i izlazi iz tog dijela sistem. U tom procesu se ne stvara nova energija, niti se stara uništava:

$\partial _t u + \nabla\cdot\vec{j}=0,$

gdje je $\vec{j}$ protok difuzione materije. Struja se može opisati koristeći se fenomenološkim Fickovim prvim zakonom, koji kaže da je protok difuzione materije u bilo kojem dijelu sistema proporcionalan gradijentu lokalne gustine. Kada postoji konvekacija, protok, također, zavisi od brzine konvekacije.

Sastavljajući ova dva člana, struja se može opisati kao

$\vec{j}=-D\,\nabla u\ + \vec{v} u.$

Kombinacija ove dvije jednačine daju konvekacijsko-difuzionu jednačinu.

Reference

• Granville Sewell, The Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations, Academic Press (1988). ISBN 0-12-637475-9