Kroneckerova lema

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Kroneckerova lema je rezultat odnosa između konvergencije beskonačnih suma i konvergencije redova. Lema se često koristi kao dio dokaza teroma o sumama nezavisnih slučajnih promjenljivih kao što je zakon velikih brojeva. Lema je dobila naziv po njemačkom matematičaru Leopoldu Kroneckeru.

Lema[uredi | uredi izvor]

Ako je (x_n)_{n=1}^\infty beskonačan niz realnih brojeva takav da

\sum_{n=1}^\infty x_n = s

postoji i da je konačna, tada imamo za 0<b_1 \leq b_2 \leq b_3 \leq \ldots i b_n \to \infty da vrijedi

\lim_{n \to \infty}\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n b_kx_k = 0.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Neka S_k označava parcijalnu sumu od x'. Koristeći sumiranje po članovima,

\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n b_k x_k = S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)S_k

Izabiremo bilo koji broj ε > 0. Zatim biramo N tako da jeS_k za ε blizu s za k > N. Ovo se može uraditi kako red S_k konvergira u s. Tada je desna strana jednaka:

S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)S_k=
= S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)s - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(S_k - s)=
= S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac{b_n-b_N}{b_n}s - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(S_k - s)

Sada, neka n ide u beskonačnost. Prvi član teži u s, koji se poništi sa trećim članom. Drugi član teži u nulu (pošto je suma fiksan broj). Pošto je red b rastući, zadnji član je ograničen sa \epsilon (b_n - b_N)/b_n \leq \epsilon.

Reference[uredi | uredi izvor]


Lebesgue Icon.svgOvaj članak, koji govori o matematičkoj analizi, je u začetku. Možete pomoći Wikipediji tako što ćete ga proširiti.