Kvadratna jednačina

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Pojam kvadratna jednačina u matematici označava jednačinu drugog stepena, to znači jednačina sa jednom nepoznatom,u kojoj se nepoznata kvadrirana (x2). U osnovnom obliku kvadratna jednačina izgleda ovako:

ax^2 + bx + c = 0

Gdje su a, b realni brojevi, tzv. koeficijenti te jednačine, x je nepoznata. Koeficijent a je uvijek različit od nule, tj. kada je a = 0 radi se o linearnoj jednačini. Često se kvadratna jednačina izrazuje u normiranom obliku, gdje a = 1. Do tog oblika može se prevesti bilo koja jednačina, dijeljenjem sa koeficijentom a.

Pojedinačni članovi imaju svoje nazive: ax2 je kvadratni član, bx je linearni član i c je slobodni ili apsolutni član.

Rješavanje jednačine[uredi | uredi izvor]

Prilikom rješavanja, najprije se izračuna tzv. diskriminanta D = b^2 - 4ac. U zavisnosti od njene vrijednosti mogu nastati tri slučaja:

  • D = 0, tada jednačina ima jedno (tzv. dvostruko) rješenje x = \frac{-b}{2a}. Prvobitnu jednačinu je moguće zapisati u obliku a(x + \frac{b}{2a})^2 = 0.
  • D > 0, tada jednačina ima dva različita realna rješenja x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}. Jednačinu je moguće zapisati u obliku a(x-x_1)(x-x_2) = 0.
  • D < 0, tada jednačina nema realnih rješenja. Njena rješenja su dva kompleksna broja x_{1,2}=\frac{-b \plusmn i \sqrt{-D}}{2a}. Jednačinu je moguće napisati u obliku a (x-x_1) (x-x_2) = 0.

Kompleksni koeficijenti[uredi | uredi izvor]

U najobičnijim slučajevima koeficijenti a,b,c mogu da budu kompleksni brojevi. Rješenje opet nalazimo izračunavanjem diskriminante D = b^2 - 4ac i njenog drugog korijena u domeni realnih brojeva. Formula za rješavanje je ista kao i kada su u pitanju realni koeficijenti. x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}. Rješenja su obično dva kompleksna broja, i među njima ne mora postojati nikakav odnos. Jednačinu je opet moguće napisati u obliku a(x-x_1)(x-x_2) = 0. U slučaju da je diskriminanta nula, jednačina ima samo jedno rješenje x_0 i oblik a(x-x_0)^2 = 0.

Dalje jednakosti[uredi | uredi izvor]

Za rješenja jednačine moraju vrijediti i sljedeće jednakosti (tzv. Vièteove formule):

  • x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Geometrijsko značenje[uredi | uredi izvor]

Lijevu stranu jednačine (ax2 + bx + c) opisuje parabola s osom paralenom osi y. Ako je a>0, parabola je otvorena prema gore (tj. tjeme je dole), za a<0 otvorena je prema dole (tjeme je gore). Rješavanju kvadratne jednačine odgovara traženje presjeka te parabole s osom x. U zavisnosti od položaja parabole, nastaju sljedeći slučajevi:

  • Cijela parabola leži nad (za a>0) ili pod (pro a<0) osom x. To nastane u slučaju, kada je D<0. Tada parabola nema presječnih tačaka s osom x, što znači, da kvadratna jednačina nema realnih rješenja
  • Tjeme parabole leži na osi x. To nastane u slučaju, kada je D=0. Tada parabola i osa x se dodiruju, tj. iamju samo jednu presječnu tačku, drugim rječima kvadratna jednačina ima samo jedno rješenje.
  • Osa x sječe parabolu u dvije tačke. To nastane u slučaju, kada je D>0. Tada jednačina ima dva realna i različita rješenja.


Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: