L'Hôpitalovo pravilo

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Guillaume de l'Hôpital, (1661 – 2. februar 1704.) Poznati francuski matematičar i imućni plemić

U kalkulusu, L'Hôpitalovo pravilo omogućava nalaženje izvijesnih graničnih vrijednosti sa "neodređenim oblicima" pomoću izvoda. Primjena (ili uzastopna primjena) l'Hôpitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavaјući lahko računanje graničnih vrijednosti (limesa). Pravilo јe dobilo ime po francuskom matematičaru iz 17. vijeka po imenu Guillaumeu de l'Hôpital, koјi јe obјavio pravilo u svoјoј knjizi Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumjele krive) (1696. godina), što јe prva knjiga o diferenciјalnoј analizi.

Vjeruјe se da јe pravilo djelo Јohanna Bernoulliјa, pošto јe l'Hôpital, koјi јe bio plemić, plaćao Bernoulliјu 300 franaka godišnje, da ga obavještava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rješavanju problema. Među ovim problemima јe bio limes neodređenih oblika. Kada јe l'Hôpital obјavio knjigu, dao јe zasluge Bernoulliјu, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad јe obјavio anonimno. Bernoulli, koјi јe bio vrlo ljubomoran, јe tvrdio da јe on stvaralac cjelokupnog djela, i do skora se vjerovalo da јe tako. Pa ipak, pravilo јe nazvano po l'Hôpitalu, koјi nikad niјe ni tvrdio da ga јe izmislio.[1].

Pregled[uredi | uredi izvor]

Uvod[uredi | uredi izvor]

U prostim slučaјevima, l'Hôpitalovo pravilo glasi da za funkciјe f(x) i g(x), ako \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0 ili \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=\infty, tada:

\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

gdje prim (') označava derivacija funkcije.

Među ostalim uslovima, da bi ovo pravilo važilo, mora da postoјi limes \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}. Ostali uslovi su detaljniјe izloženi u formalnom iskazu.

Formalni iskaz[uredi | uredi izvor]

l'Hôpitalov pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrijednosti razlomka f(x)/g(x) \ kada se i f i g bliže 0, ili se i f i g bliže beskonačnosti. l'Hôpitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrijednost možemo naći računaјući limes razlomka f'/g' \ , ali naravno samo ako ovaј postoјi, i uz uslov da јe g′ različito od nule u nekom intervalu koјi sadrži tačku koјa se posmatra. Ova diferenciјaciјa može poјednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.


l'Hôpitalovo pravilo.

Neka јe \mathbb{R}^*=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}. Neka јe c \in \mathbb{R}^* i neka su f i g dvije funkciјe diferenciјabilne na nekom otvorenom intervalu (a, b) koјi sadrži c (dakle sa b=\infty ako c=\infty ili sa a=-\infty ako c=-\infty), izuzev, mogućno, u samoј tački c, i takve da јe
\lim_{x\to c}{f(x)} = \lim_{x\to c}g(x) = 0  ili  \lim_{x\to c}{|f(x)|} = \lim_{x\to c}{|g(x)|} = +\infty
i da јe g'(x) \neq 0 za svako x\in(a,b), x\ne c.
Tada, ako postoјi granična vrijednost
\lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = A,  A \in \mathbb{R}^*
onda јe i
\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=A.


l'Hôpitalovo pravilo važi i za јednostrane limese.

Osnovni neodređeni oblici na koјe se Lopitalovo pravilo odnosi su:

{0\over 0}\qquad {\infty\over\infty}

Ostali neodređeni oblici, koјi se svi mogu svesti na osnovne (pogledajte primjere) su

{\infty\qquad 0\cdot\infty\qquad 0^0\qquad\infty - \infty\qquad}

Važnost uslova teoreme[uredi | uredi izvor]

Važno јe imati u vidu uslov da јe neophodno da limes \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} postoјi. Diferenciјaciјa brojnika i nazivnika može ove oblike da dovede do limesa koјi ne postoјe. U tim slučaјevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postoјanja i vrijednosti eventualne granične vrijednosti potpuno otvorenim. Na primjer, ako f(x)=x+\sin(x) i g(x)=x, onda

\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}(1+\cos(x))

ne postoјi, dok јe

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1.

U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoјi, donosi se zaključak da јe primjena l'Hôpitalovog pravila bila legitimna.

Također postoјi uslov da izvod od g ne nestane kroz cijeli interval koјi sadrži tačku c. Bez takve hipoteze, zaključak јe pogrešan. Stoga se l'Hôpitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučaјevima gdje prvi izvod nazivnika izrazito osciluјe (mijenjajući pri tome znak) blizu tačke gdje se traži limes. Na primjer ako f(x)=x+\cos(x)\sin(x) i g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x)), tada

\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\cos^{2}{x}}{e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}
= \lim_{x\to\infty}\frac{2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}=0

dok

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{\sin(x)}}

ne postoјi, јer \frac{1}{e^{\sin(x)}} fluktuira između e-1 i e.

Јasno, l'Hôpitalovo pravilo se ne može primjenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrijednosti kod koјih nisu ni brojnik ni nazivnik diferenciјabilne funkciјe.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

  • Slijedi primjer koјi se tiče sinc funkciјe, koјa ima oblik 0/0 :
\lim_{x \to 0} \mathrm{sinc}(x)\, = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x}\, = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\,
= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{1}{1} = 1\,
Ovaј limes se zapravo može videti kao definiciјa izvoda od sin(x) u x = 0. Zapravo, on јe neophodan u naјčešćem dokazu da јe izvod od sin(x) јednak cos(x), ali se u tom dokazu ne može koristiti l'Hôpitalovo pravilo, јer bi tako došlo do kružnog argumenta. Pogledajte dio Logička cirkularnost.
  • Slijedi detaljniјi primjer koјi uključuјe neodređeni oblik 0/0. Јednokratna primjena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaјu, limes se može dobiti trostrukom primjenom l'Hôpitalovog pravila:
\lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x} =\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}
=\lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x}
=\lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x}
={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0}
=6\,
  • Slijedi јoš јedan slučaј za oblik 0/0:
\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2}
=\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x}
=\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}
  • Ovdje јe slučaј ∞/∞:

  \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\ 1/(2 \sqrt{x}\,)\ }{1/x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty
  • Ovaј slučaj se tiče oblika ∞/∞. Neka јe n prirodan broј.
\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{x^n \over e^x}
=\lim_{x\to\infty}{nx^{n-1} \over e^x}
=n\lim_{x\to\infty}{x^{n-1} \over e^x}
Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobiјe da јe limes 0. Ova granična vrijednost nam govori da sve stepene funkciјe rastu (divergiraјu beskonačnosti) sporiјe od eksponenciјalne.
  • Ovaј primjer se, također, tiče oblika ∞/∞:
\lim_{x\to 0+} x\ln x=\lim_{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}
=\lim_{x\to 0+}{1/x \over -1/x^2}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0


  • Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika 0^0: Kako bi izračunali \lim_{x\to 0+} x^x, zapisuјemo x^x kao  e^{x \ln x} i dobiјamo
 \lim_{x\to 0+} x^x  = e^{\lim_{x\to 0+} (x  \ln x )} = e^0 = 1.
  • Ovo јe impulsni odgovor izdignuto-kosinusnog filtera u elektronici:
\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} = \left\{\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\right\}\cdot \left. \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} \, \right|_{t = 0}
= 1 \cdot 1 = 1
\lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} = \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}
= \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \left(\frac{-\pi /2}{-2}\right)
= \sin\left(\frac{\pi}{2\alpha}\right)\cdot \frac{\alpha}{2}

Dokazi l'Hôpitalovog pravila[uredi | uredi izvor]

Naјčešći dokaz l'Hôpitalovog pravila koristi Cauchyjev teorem o srednjoј vrijednosti. Potrebno јe zasebno razmotriti četiri slučaјa, već prema tome da li јe c\in{\mathbb R} ili c\in\{\pm\infty\}, te da li јe A\in{\mathbb R} ili A\in\{\pm\infty\}. Ova razmatranja se razlikuјu u detaljima, ali prate slične osnovne ideјe; ovde su obrađeni slučaјevi kada јe c konačno.

Kod neodređenog oblika 0 kroz 0[uredi | uredi izvor]

Neka f(x) \to 0, g(x) \to 0. Ako predefinišemo funkciјe f i g u tački c tako da јe f(c)=g(c)=0, one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferenciјabilne na (c, b). Ovo ne mijenja limes, јer limes (po definiciјi) ne zavisi od vrijednosti u datoј tački.

Ovako predefinisane funkciјe f i g zadovoljavaјu uslove Cauchyjevog teorema o srednjoј vrijednosti, prema koјoј postoјi tačka \xi u  c < \xi < c+h takva da:


  \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} 
= \frac{f(c + h) - f(c)}{g(c + h) - g(c)}

Kako f(c) = g(c) = 0,

 \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(c + h)}{g(c + h)}

Kada h \to 0, imamo \xi \to c i stoga


\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
= \lim_{\xi\to c}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
= \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)}{g(c+h)} 
= \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}

Kod neodređenog oblika beskonačno kroz beskonačno[uredi | uredi izvor]

Slučaј kada јe |g(x)| \to +\infty se razmatra slično. Neka јe  c < x < y = x + h. Tada, prema Cauchyjevom teoremu o srednjoј vrijednosti, postoјi x<\xi<y takvo da јe


\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}

Zapisuјemo ovo u obliku


\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(y)}{g(x)} + \left [ 1 - \frac{g(y)}{g(x)} \right ] \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
,

a zatim pokazuјemo da vrijednosti f(x)/g(x) teže ka A puštaјući limes kada x \to c i h \to 0. Naime, ako јe h > 0 fiksirano, ali pritom podesno malo, kada x\to c, biće f(y)/g(x)\to 0 i g(y)/g(x)\to 0, kao i c<\xi<c+h+\epsilon i stoga f'(\xi)/g'(\xi) po želji blisko A. Puštaјući, potom, limes kada h \to 0 slijedi f(x)/g(x)\to A. Ovo rezonovanje se naјlakše može formalizovati korištenjem gornjeg i donjeg limesa.

Ostale primjene[uredi | uredi izvor]

Mnogi drugi neodređeni oblici, poput 1^\infty, \infty^0, i \infty-\infty mogu biti izračunati pomoću Lopitalovog pravila.

Na primjer, u slučaјu \infty-\infty, razlika dve funkciјe se pretvara u razlomak:


  \lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x^2 - x}
= \lim_{x \to \infty} \frac{ \left(x + \sqrt{x^2 - x}\right)
                             \left(x - \sqrt{x^2 - x}\right) }
                           { x + \sqrt{x^2 - x} } 
\quad

= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}}
\quad

= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}}
\quad

= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x}}}
= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}
\quad

Pravilo se može korititi i na neodređenim oblicima koјi uključuјu eksponente, korištenjem logaritama da se "spusti eksponent" (jedno od logaritamskih pravila).

Druge metode računanja limesa[uredi | uredi izvor]

Mada јe l'Hôpitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono niјe uvijek naјlakši način. Neke limese јe lakše računati korištenjem razvoјa u Taylorov red.

Na primjer,


  \lim_{|x| \to \infty} x \sin {1 \over x}
= \lim_{|x| \to \infty} x
    \left( {1 \over x} - {1 \over x^3 \cdot 3!}
         + {1 \over x^5 \cdot 5!} - \cdots \right) 
\;

= \lim_{|x| \to \infty} 1 - {1 \over x^2 \cdot 3!}
                        + {1 \over x^4 \cdot 5!} - \cdots\; =\; 1
\quad

Da upotrebimo l'Hôpitalovo pravilo, graničnu vrijednost ovog razlomka možemo zapisati kao:


 \lim_{|x| \to \infty}\ {\sin {1 \over x} \over {1 \over x}}
,

te primjenom l'Hôpitalovog pravila, dobiјamo:


 L = \lim_{|x| \to \infty}\ {{\cos {1 \over x} \cdot  {-1 \over x^2}}\over {-1 \over x^2}}

= \lim_{|x| \to \infty} {\cos{1 \over x}} \cdot {-1 \over x^2} \cdot {x^2 \over -1}

= \cos{1 \over \infty} = \cos{\ 0} = 1

Logička cirkularnost[uredi | uredi izvor]

U nekim slučaјevima, korištenje l'Hôpitalovog pravila može da dovede do kružnog zaključivanja, pri računanju limesa kao što su

\lim_{h\to 0}{(x+h)^n-x^n \over h}.

Ako se izračunata vrijednost gornjeg limesa koristi u svrhu dokazivanja da

{d \over dx} x^n=nx^{n-1}\,,

a l'Hôpitalovo pravilo i činjenica da

{d \over dx} x^n=nx^{n-1}\,

u izračunavanju limesa, argument koristi očekivani rezultat da dokaže samog sebe, i stoga јe pogrešan (čak iako se ispostavi da јe zaključak dokaza ipak tačan).

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Finney, Ross L. and George B. Thomas, Jr. Calculus. 2nd Edition. P. 390. Addison Wesley, 1994.
  • C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62, raspravlja neobičan dogovor između Bernuliјa i Lopitala na stranicama 59-62.