Lagrangeova tačka

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Šablon nedostaje ikona.svg Na ovoj stranici se koriste jedan ili više šablona koji ne postoje.
Uklonite ili napravite nepostojeće šablone i zatim uklonite ovaj šablon.
Bih-usa.svg Ovaj članak nije preveden ili je djelimično preveden.
Ako smatrate da ste sposobni da ga prevedete, kliknite na link uredi i prevedite ga vodeći računa o enciklopedijskom stilu pisanja i pravopisu bosanskog jezika.
Slika koja pokazuje efektivne potencijale sistema dva tijela (konkretno Sunca i Zemlje) usljed dejstva gravitacione i centrifugalne sile u referentnom sistemu koji rotira tako da položaji tijela ostaju konstantni. Tijela koja rotiraju oko Sunca sa istim orbitalnim periodom kao Zemlja će početi da se kreću po linijama koje spajaju ekvipotencijalne(?) površi. Strelice pokazuju gradijent porasta potencijala oko 5 Lagranžovih tačaka — ka njima i od njih ali su u samim tačkama ove sile u ravnoteži. Vidi NASA Wilkinson Microwave Anisotropy Probe za više detalja.

Lagranžove tačke (L-tačke) je naziv za pet tačaka u orbitalnoj konfiguraciji gde malo tijelo na koje deluje samo gravitacija može da bude nepokretno u odnosu na dva veća tijela (npr. vještački satelit u odnosu na Zemlju i Mjesec). U Lagranžovim tačkama gravitaciona dejstva dva veća tijela poništavaju centrifugalnu silu koja bi izbacila tijelo iz orbite. Ove tačke su analogne geostacionarnim orbitama u smislu da se uzajamni položaji tijela u sistemu ne mijenjaju vremenom.

Preciznija definicija kaže da su Lagranžove tačke stacionarna rješenja redukovanog problema tri tijela.[1][2]

Historija i koncept[uredi | uredi izvor]

Tri kolinearne Lagranžove tačke je prvi otkrio Ojler oko 1750. godine.[3]

Italijansko-francuski matematičar Joseph Louis Lagrange je 1772. radio na čuvenom problemu tri tijela, kada je otkrio zanimljivu posljedicu svojih rezultata. Lagranž je pokušao da pronađe jednostavan način za računanje gravitacionih interakcija proizvoljnog broja tijela, jer prema Njutnovoj mehanici tijela se u takvom sistemu kreću haotično dok ne dođe do sudara ili neka tijela budu izbačena iz sistema tako da se ostatak sistema nađe u ravnoteži. Problem jednog tijela je trivijalan, jer je ono statično u odnosu na samo sebe, problem dva tijela je jednostavan jer se oba tijela kreću oko zajedničkog centra mase; međutim, uvođenjem dodatnih tijela se matematičke jednačine drastično komplikuju. Potrebno je izračunati uticaj svih tijela na sva druga tijela na svakoj tački njihove putanje.

Lagranž je želio da pojednostavi problem. Uveo je jednostavnu hipotezu: Putanja objekta je određena putem koji minimizuje akciju tokom vremena. Takvu putanju je moguće naći oduzimanjem potencijalne od kinetičke energije. Ovakvim razmišljanjem, Lagranž je reformulisao klasičnu Njutnovu mehaniku i došao do tzv. Lagranžove mehanike. Dalji rad je doveo Lagranža do hipoteze kako će se tijelo zanemarljive mase kretati oko dva tijela koja se već nalaze na približno kružnim orbitama. U referentnom sistemu koji rotira zajedno sa većim tijelima, Lagranž je našao 5 specifičnih tačaka u kojima se poništavaju sile koje deluju na malo tijelo[4]. U njegovu čast su ove tačke nazvane „Lagranžove tačke“. Tek poslije sto godina (1990-ih) su otkriveni Trojanski asteroidi, čije orbite se nalaze u Lagranžovim tačkama sistema Sunce-Jupiter.

U opštijem slučaju eliptičnih orbita, ne postoje više stacionarne „tačke“, već se javljaju Lagranžove „oblasti“. Lagranžove tačke konstruisane za svaku konfiguraciju sistema grade elipse matematički slične elipsama koje opisuju veća tijela, što je posljedica drugog Njutnovog zakona. tijelo u Lagranžovoj tački ima isti orbitalni period kao i dva veća tijela, i ovaj orbitalni period ne zavisi od oblika putanje, što znači da su eliptične putanje koje opisuju Lagranžove tačke zapravo rešenja jednačine kretanja za treće tijelo.

Lagranžove tačke[uredi | uredi izvor]

Slika koja prikazuje Lagranžove tačke u sistemu u kome je jedno tijelo daleko masivnije od drugog (npr. Sunce i Zemlja). U takvom sistemu se čini se da tačke L3–L5 nalaze na istoj orbiti kao manje tijelo, mada se zapravo nalaze malo izvan njegove orbite.

Pet lagranžovih tačaka nosi sljedeće oznake:

L1[uredi | uredi izvor]

L1 tačka leži na liniji koja spaja veće mase M1 and M2, i to između ovih tela. Ovu je tačku intuitivno najlakše razumeti, u njoj gravitacija manjeg se direktno suprotstavlja gravitaciji većeg tijela.

Primjer: tijelo koje kruži oko Sunca bliže od Zemlje bi trebalo da ima kraći orbitalni period, ali time zanemarujemo efekt Zemljine gravitacije. Ako se objekt nalazi na liniji koja spaja Zemlju i Sunce, Zemljina gravitacija djeluje nasuprot Sunčeve, povećavajući pri tom orbitalni period objekta. Što je objekt bliže Zemlji, i efekt je veći. U L1 tački, orbitalni period objekta i Zemlje postaju jednaki.

L1 tačka u sistemu Sunce-Zemlja je idealna za posmatranje Sunca. Solarna i heliosferna opservatorija (SOHO) je smještena u Halo orbiti oko L1, a satelit Napredni istraživač sastava (ACE) u Lisažu orbiti, također oko L1. Zemlja-Mjesec L1 omogućava lak pristup orbitama i oko Zemlje i oko Mjeseca uz minimalnu promenu brzine zbog čega je idealna za svemirsku stanicu koja bi prenosila ljude i teret do Mjeseca i nazad.

L2[uredi | uredi izvor]

Slika koja prikazuje Sunce-Zemlja L2 tačku, koja leži dobrano iza Mjesečeve orbite.

L2 tačka leži na pravoj definisanoj većim masama, iza manjeg tela. U ovom slučaju se gravitaciona dejstva oba tijela suprotstavljaju centrifugalnoj sili trećeg tijela.

Primjer: Sa one strane Zemlje suprotne Suncu, orbitalni period bi normalno bio kraći od orbitalnog perioda Zemlje. Dodatno gravitaciono privlačenje Zemlje skraćuje taj orbitalni period koji u L2 postaje jednak periodu revolucije Zemlje.

L2 tačka u sistemu Sunce-Zemlja je dobra pozicija za svemirska posmatranja. Kako objekti u L2 zadržavaju istu orijentaciju u odnosu na Zemlju i Sunce, kalibracija i zaštita su značajno jednostavniji. Vilkinsonova stanica za mikrotalasnu anizotropiju (Šablon:Jez-engl) se već nalazi u orbiti oko L2, a u planu su i Plankov satelit, Heršel svemirska opservatorija, Gaja stanica i Džejms Veb svemirski teleskop. L2 tačka u sistemu Zemlja-Mjesec predstavlja pogodnu tačku za postavljanje komunikacionih satelita za dalju stranu Mjeseca.

Ako je masa manjeg tijela (M2) mnogo manja od mase većeg objekta (M1), onda se L1 i L2 nalaze na približno istoj udaljenosti r od manjeg tela, jednakoj poluprečniku Hilove sfere:

r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}

gde je R udaljenost između M1 i M2.

Primjeri:

  • Sunce i Zemlja: 1 500 000 km od Zemlje
  • Zemlja i Mjesec: 61 500 km od Mjeseca

L3[uredi | uredi izvor]

L3 tačka leži kolinearno sa većim tijelima, iza većeg od njih

Primjer: L3 u sistemu Sunce-Zemlja se nalazi na suprotnoj strani Sunca u odnosu na Zemlju, malo bližu Suncu nego Zemlja, jer se centar mase u sistemu Sunce-Zemlja ne nalazi u sentru Sunca već nešto bliže Zemlji. Kao i u L2, i u L3 tački zajedničko gravitaciono privlačenje Sunca i Zemlje dovodi do toga da tijela imaju isti period revolucije kao Zemlja.

U petparačkoj naučnoj fantastici i stripovima L3 je bila populatno mesto za smještanje „anti-Zemlje“, ali kada se jednom započelo sa lansiranjem svemirskih sondi, pokazano je da takvo tijelo ne postoji, štaviše, Sunce-Zemlja L3 tačka je izuzetno nestabilna zbog gravitacionog dejstva drugih planeta. Venera, na primjer, svakih 20 mjeseci prolazi na manje od 0,3 AJ od L3.

L4 i L5[uredi | uredi izvor]

Gravitaciona sila u L4.

L4 i L5 tačke leže na tjemenima jednakostraničnog trougla čija je osnova definisana većim tijelima. Tačka L4 se nalazi ispred, a L5 iza manjeg tijela gledano u odnosu na njegovu revoluciju oko većeg. Obe ove Lagranžove tačke leže u ravni orbite manjeg tijela.

Ove dve tačke su stabilne jer su jednako udaljene od obje mase, pa je sila kojom veća tijela na njih deluju proporcionalna masama M1 i M2, tako da rezultanta sile prolazi kroz centar mase. U L4 i L5 ne mora da se nalazi tijelo zanemarljive mase u odnosu na M1 i M2; opštu trougaonu konfiguraciju je otkrio Lagranž proučavajući problem 3 tela.

L4 i L5 se ponekad nazivaju trougaone Lagranžove tačke ili Trojanske tačke. Naziv Trojanske tačke potiče od trojanskih asteroida, koji se nalaze u L4 i L5 tačkama sistema Sunce-Jupiter. Asteroidi u L4 su nazvani „grčki tabor“ a u L5 „trojanski tabor“, i nose imena odgovarajućih junaka Ilijade.

Primjeri:
  • Sunce-Zemlja L4 i L5 tačke sadrže međuplanetarnu prašinu
  • u Sunce-Jupiter L4 i L5 tačkama se nalaze trojanski asteroidi
  • u L4 i L5 tačkama sistema Sunce-Neptun se nalaze tijela iz Cuiperovog pojasa.
  • Saturnov satelit Tetija ima dva manja satelita u svojim L4 i L5 tačkama – Telesto i Kalipso (respektivno)
  • Saturnov satelit Dionu prate sateliti Helena i Polideuk u L4 i L5 tačkama (respektivno)
  • prema hipotezi gigantskog sudara planeta veličine Mars po imenu Teja je postojala u Zemljinoj L4 ili L5 tački, ali je zbog svoje veličine postala nestabilna, sudarila se sa Zemljom, a kao posljedica sudara je nastao Mjesec.

Stabilnost[uredi | uredi izvor]

Prve tri Lagranžove tačke su stabilne samo u ravni normalnoj na pravu definisanu dvama tijelima. Ovo je najočiglednije kod L1. Na probnu masu pomerenu normalno u odnosu na duž koja spaja M1 i M2 delovaće privlačna sila oba tijela koja teži da tijelo vrati u ravnotežnu tačku. Ovo se dešava jer se komponente sile normalne na M1-M2 duž superponiraju, dok su komponentne paralelne sa ovom duži uravnotežene. Međutim, ako se probno tijelo pomjeri bliže nekoj od masa, to tijelo će djelovati jačom silom nego tijelo od koga je probna masa odmaknuta. (Ovakvo ponašanje je slično ponašanju pod dejtstvom plimskih sila).

Mada se može reći da su L1, L2 i L3 generalno nestabilne tačke, moguće je pronaći stabilne periodične orbite oko ovih tačaka, makar u restihovanom problemu tri tela. Ove potpuno periodilne orbite, koje se zovu „halo“ orbite, ne postoje u punom dinamičkom sistemu n-tela tako što je Sunčev sistem. U ovom slučaju postoje kvaziperiodične orbite koje prate Lisažuove krive, i ovakve Lisažuove orbite su koristile sve dosadašnje misije u Lagranžovim tačkama. Mada Lisažuove orbite nisu savršeno stabilne, potrebne su relativno skromne korekcije za održavanje letelica na željenim orbitama. U slučaju Sunce-Zemlja L1 tačke, pokazalo se korisnim da se svemirske misije smeste u Lasažuove orbite sa velikom amplitudom (100 000 – 200 000km), čime se smanjuje uticaj Sunčevog zračenja na komunikaciju Zemlje sa misijom.

Nasuprot kolinearnim Lagranžovim tačkama, trougaone tačke (L4 i L5) su tačke stabilne ravnoteže, pod uslovom da je odnos između -M1 i M2 veći od 24,96[5][6]. Ovo je slučaj za Suncem i Zemljom, dok je odnos Zemlje i Mjeseca za nijansu manji. Kada se tijelo pomeri iz trougaone Lagranžove tačke, Koriolisova sila ga zadržava na stabilmoj, bubrežastoj orbiti oko Lagranžove tačke (posmatrano iz rotirajućeg referentnog sistema). U sistemu Zemlja-Mjesec, međutim, problem stabilnost je komplikovaniji zbog značajnog uticaja Sunčeve gravitacije [7]

Misije u Lagranžovim tačkama[uredi | uredi izvor]

Zbog svoje specifičnosti, Lagranžove tačke su česta meta za neke vrste misija. Najčešće se misije nalaze u orbiti oko Lagranžovih tačaka, a ne u samim tačkama.

Misija Lagranžova tačka Agencija Status
Napredni istraživač sastava (Šablon:Jez-engl) Zemlja-Sunce L1 NASA Operativan
Solarna i heliosferska opservatorija Zemlja-Sunce L1 NASA Operativan
Vjetar (NASA) (globalni geosvemirski satelit) Zemlja-Sunce L1 NASA Operativan
Postanje Zemlja-Sunce L1 NASA Misija završena, napustila L1 tačku
Međunarodni istraživač kometa (Šablon:Jez-engl Zemlja-Sunce L1 NASA Originalna misija završena, napustila L1 tačku
Klimatska opservatorija dubokog svemira Zemlja-Sunce L1 NASA Na čekanju
Solar-C Zemlja-Sunce L1 Japanska agencija za svemirska istraživanja Misija moguća posle 2010.
Vilkinsonova sonda za mikrotalasnu anizotropiju Zemlja-Sunce L2 NASA Operativan
Plankov satelit Zemlja-Sunce L2 ESA Lansiranje planirano za proleće 2009.
Heršelova svemirska opservatorija Zemlja-Sunce L2 ESA Lansiranje planirano za proleće 2009. (zajedno sa Plankovim Satelitom)
Džejms Veb svemirski teleskop Zemlja-Sunce L2 NASA, ESA, Kanadska svemirska agencija Lansiranje planirano za jun 2013. ili kasnije
SMART-1 (Mala misija za napredna tehnološka istraživanja) Mjesec-Zemlja L1 (prolet) ESA Misija završena, namjerno srušena na Mjesec
Sunčeva senka Zemlja-Sunce L2 - Različiti predlozi
Novi horizonti Sunce-Neptun L5 (prolet) NASA Lansiran, planirano da stigne 1. augusta 2014

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ "Redukovani problem tri tijela", Science World.
  2. ^ "Lagranžove tačke" Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
  3. ^ Koon, W. S.; M. W. Lo, J. E. Marsden, and S. D. Ross (2006). Dynamical Systems, the Three-Body Problem, and Space Mission Design, 9.
  4. ^ (fr) Lagrange, Joseph-Louis (1867-1892). “Tome 6, Chapitre II: Essai sur le problème des trois corps”, Oeuvres de Lagrange, 272–292, Gauthier-Villars.
  5. ^ Tačnije \tfrac{25+3\sqrt{69}}{2}
  6. ^ Lagranžove tačke – Nil Dž Korniš i Džeremi Gudman
  7. ^ Potraga za prirodnim ili vještačkim objektima smještenim u Zemlja-Mjesec libracionim tačkama.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: