Lagrangeova tačka

Slika koja pokazuje efektivne potencijale sistema dva tijela (konkretno Sunca i Zemlje) usled dejstva gravitacione i centrifugalne sile u referentnom sistemu koji rotira tako da položaji tijela ostaju konstantni. Tijela koja rotiraju oko Sunca sa istim orbitalnim periodom kao Zemlja će početi da se kreću po linijama koje spajaju ekvipotencijne(?) površi. Strelice pokazuju gradijent porasta potencijala oko 5 Lagranžovih tačaka — ka njima i od njih ali su u samim tačkama ove sile u ravnoteži. Vidi NASA Wilkinson Microwave Anisotropy Probe za više detalja.

Lagranžove tačke (L-tačke) je naziv za pet tačaka u orbitalnoj konfiguraciji gde malo tijelo na koje deluje samo gravitacija može da bude nepokretno u odnosu na dva veća tijela (npr. vještački satelit u odnosu na Zemlju i Mjesec). U Lagranžovim tačkama gravitaciona dejstva dva veća tijela poništavaju centrifugalnu silu koja bi izbacila tijelo iz orbite. Ove tačke su analogne geostacionarnim orbitama u smislu da se uzajamni položaji tijela u sistemu ne mijenjaju vremenom.

Preciznija definicija kaže da su Lagranžove tačke stacionarna rešenja redukovanog problema tri tijela.

Historija i koncept

Tri kolinearne Lagranžove tačke je prvi otkrio Ojler oko 1750. godine.

Italijansko-francuski matematičar Joseph Louis Lagrange je 1772. radio na čuvenom problemu tri tijela, kada je otkrio zanimljivu posljedicu svojih rezultata. Lagranž je pokušao da pronađe jednostavan način za računanje gravitacionih interakcija proizvoljnog broja tijela, jer prema Njutnovoj mehanici tijela se u takvom sistemu kreću haotično dok ne dođe do sudara ili neka tijela budu izbačena iz sistema tako da se ostatak sistema nađe u ravnoteži. Problem jednog tijela je trivijalan, jer je ono statično u odnosu na samo sebe, problem dva tijela je jednostavan jer se oba tijela kreću oko zajedničkog centra mase; međutim, uvođenjem dodatnih tijela se matematičke jednačine drastično komplikuju. Potrebno je izračunati uticaj svih tijela na sva druga tijela na svakoj tački njihove putanje.

Lagranž je želio da pojednostavi problem. Uveo je jednostavnu hipotezu: Putanja objekta je određena putem koji minimizuje akciju tokom vremena. Takvu putanju je moguće naći oduzimanjem potencijalne od kinetičke energije. Ovakvim razmišljanjem, Lagranž je reformulisao klasičnu Njutnovu mehaniku i došao do tzv. Lagranžove mehanike. Dalji rad je doveo Lagranža do hipoteze kako će se tijelo zanemarljive mase kretati oko dva tijela koja se već nalaze na približno kružnim orbitama. U referentnom sistemu koji rotira zajedno sa većim telima, Lagranž je našao 5 specifičnih tačaka u kojima se poništavaju sile koje deluju na malo tijelo. U njegovu čast su ove tačke nazvane „Lagranžove tačke“. Tek posle sto godina (1990-ih) su otkriveni Trojanski asteroidi, čije orbite se nalaze u Lagranžovim tačkama sistema Sunce-Jupiter.

U opštijem slučaju eliptičnih orbita, ne postoje više stacionarne „tačke“, već se javljaju Lagranžove „oblasti“. Lagranžove tačke konstruisane za svaku konfiguraciju sistema grade elipse matematički slične elipsama koje opisuju veća tela, što je posledica drugog Njutnovog zakona. tijelo u Lagranžovoj tački ima isti orbitalni period kao i dva veća tela, i ovaj orbitalni period ne zavisi od oblika putanje, što znači da su eliptične putanje koje opisuju Lagranžove tačke zapravo rešenja jednačine kretanja za treće tijelo.

Lagranžove tačke

Slika koja prikazuje Lagranžove tačke u sistemu u kome je jedno tijelo daleko masivnije od drugog (npr. Sunce i Zemlja). U takvom sistemu se čini se da tačke L₃–L₅ nalaze na istoj orbiti kao manje tijelo, mada se zapravo nalaze malo izvan njegove orbite.

Pet lagranžovih tačaka nosi sledeće oznake:

L₁

L₁ tačka leži na liniji koja spaja veće mase M₁ and M₂, i to između ovih tela. Ovu je tačku intuitivno najlakše razumeti, u njoj gravitacija manjeg se direktno suprotstavlja gravitaciji većeg tela.

Primjer: tijelo koje kruži oko Sunca bliže od Zemlje bi trebalo da ima kraći orbitalni period, ali time zanemarujemo efekt Zemljine gravitacije. Ako se objekt nalazi na liniji koja spaja Zemlju i Sunce, Zemljina gravitacija deluje nasuprot Sunčeve, povećavajući pri tom orbitalni period objekta. Što je objekt bliže Zemlji, i efekt je veći. U L₁ tački, orbitalni period objekta i Zemlje postaju jednaki.

L₁ tačka u sistemu Sunce-Zemlja je idealna za posmatranje Sunca. Solarna i heliosferna opservatorija (SOHO) je smeštena u Halo orbiti oko L₁, a satelit Napredni istraživač sastava (ACE) u Lisažu orbiti, takođe oko L₁. Zemlja-Mjesec L₁ omogućava lak pristup orbitama i oko Zemlje i oko Mjeseca uz minimalnu promenu brzine zbog čega je idealna za svemirsku stanicu koja bi prenosila ljude i teret do Mjeseca i nazad.

L₂

Slika koja prikazuje Sunce-Zemlja L₂ tačku, koja leži dobrano iza Mesečeve orbite.

L₂ tačka leži na pravoj definisanoj većim masama, iza manjeg tela. U ovom slučaju se gravitaciona dejstva oba tijela suprotstavljaju centrifugalnoj sili trećeg tela.

Primjer: Sa one strane Zemlje suprotne Suncu, orbitalni period bi normalno bio kraći od orbitalnog perioda Zemlje. Dodatno gravitaciono privlačenje Zemlje skraćuje taj orbitalni period koji u L₂ postaje jednak periodu revolucije Zemlje.

L₂ tačka u sistemu Sunce-Zemlja je dobra pozicija za svemirska posmatranja. Kako objekti u L₂ zadržavaju istu orijentaciju u odnosu na Zemlju i Sunce, kalibracija i zaštita su značajno jednostavniji. Vilkinsonova stanica za mikrotalasnu anizotropiju (Šablon:Jez-engl) se već nalazi u orbiti oko L₂, a u planu su i Plankov satelit, Heršel svemirska opservatorija, Gaja stanica i Džejms Veb svemirski teleskop. L₂ tačka u sistemu Zemlja-Mjesec predstavlja pogodnu tačku za postavljanje komunikacionih satelita za dalju stranu Mjeseca.

Ako je masa manjeg tijela (M₂) mnogo manja od mase većeg objekta (M₁), onda se L₁ i L₂ nalaze na približno istoj udaljenosti r od manjeg tela, jednakoj poluprečniku Hilove sfere:

$r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}$

gde je R udaljenost između M₁ i M₂.

Primjeri:

• Sunce i Zemlja: 1 500 000 km od Zemlje
• Zemlja i Mjesec: 61 500 km od Mjeseca

L₃

L₃ tačka leži kolinearno sa većim telima, iza većeg od njih

Primjer: L₃ u sistemu Sunce-Zemlja se nalazi na suprotnoj strani Sunca u odnosu na Zemlju, malo bližu Suncu nego Zemlja, jer se centar mase u sistemu Sunce-Zemlja ne nalazi u sentru Sunca već nešto bliže Zemlji. Kao i u L₂, i u L₃ tački zajedničko gravitaciono privlačenje Sunca i Zemlje dovodi do toga da tijela imaju isti period revolucije kao Zemlja.

U petparačkoj naučnoj fantastici i stripovima L₃ je bila populatno mesto za smeštanje „anti-Zemlje“, ali kada se jednom započelo sa lansiranjem svemirskih sondi, pokazano je da takvo tijelo ne postoji, Štaviše, Sunce-Zemlja L₃ tačka je izuzetno nestabilna zbog gravitacionog dejstva drugih planeta. Venera, na primer, svakih 20 meseci prolazi na manje od 0,3 AJ od L₃.

L₄ i L₅

Gravitaciona sila u L₄.

L₄ i L₅ tačke leže na temenima jednakostraničnog trougla čija je osnova definisana većim telima. Tačka L₄ se nalazi ispred, a L₅ iza manjeg tijela gledano u odnosu na njegovu revoluciju oko većeg. Obe ove Lagranžove tačke leže u ravni orbite manjeg tela.

Ove dve tačke su stabilne jer su jednako udaljene od obe mase, pa je sila kojom veća tijela na njih deluju proporcionalna masama M₁ i M₂, tako da rezultanta sile prolazi kroz centar mase. U L₄ i L₅ ne mora da se nalazi tijelo zanemarljive mase u odnosu na M₁ i M₂; opštu trougaonu konfiguraciju je otkrio Lagranž proučavajući problem 3 tela.

L₄ i L₅ se ponekad nazivaju trougaone Lagranžove tačke ili Trojanske tačke. Naziv Trojanske tačke potiče od trojanskih asteroida, koji se nalaze u L₄ i L₅ tačkama sistema Sunce-Jupiter. Asteroidi u L₄ su nazvani „grčki tabor“ a u L₅ „trojanski tabor“, i nose imena odgovarajućih junaka Ilijade.

Primjeri:

• Sunce-Zemlja L₄ i L₅ tačke sadrže međuplanetarnu prašinu
• u Sunce-Jupiter L₄ i L₅ tačkama se nalaze trojanski asteroidi
• u L₄ i L₅ tačkama sistema Sunce-Neptun se nalaze tijela iz Cuiperovog pojasa.
• Saturnov satelit Tetida ima dva manja satelita u svojim L₄ i L₅ tačkama – Telesto i Kalipso (respektivno)
• Saturnov satelit Dionu prate sateliti Helena i Polideuk u L₄ i L₅ tačkama (respektivno)
• prema hipotezi gigantskog sudara planeta veličine Mars po imenu Teja je postojala u Zemljinoj L₄ ili L₅ tački, ali je zbog svoje veličine postala nestabilna, sudarila se sa Zemljom, a kao posledica sudara je nastao Mjesec.

Stabilnost

Prve tri Lagranžove tačke su stabilne samo u ravni normalnoj na pravu definisanu dvama telima. Ovo je najočiglednije kod L₁. Na probnu masu pomerenu normalno u odnosu na duž koja spaja M₁ i M₂ delovaće privlačna sila oba tijela koja teži da tijelo vrati u ravnotežnu tačku. Ovo se dešava jer se komponente sile normalne na M₁-M₂ duž superponiraju, dok su komponentne paralelne sa ovom duži uravnotežene. Međutim, ako se probno tijelo pomeri bliže nekoj od masa, to tijelo će delovati jačom silom nego tijelo od koga je probna masa odmaknuta. (Ovakvo ponašanje je slično ponašanju pod dejtstvom plimskih sila).

Mada se može reći da su L₁, L₂ i L₃ generalno nestabilne tačke, moguće je pronaći stabilne periodične orbite oko ovih tačaka, makar u restihovanom problemu tri tela. Ove potpuno periodilne orbite, koje se zovu „halo“ orbite, ne postoje u punom dinamičkom sistemu n-tela tako što je Sunčev sistem. U ovom slučaju postoje kvaziperiodične orbite koje prate Lisažuove krive, i ovakve Lisažuove orbite su koristile sve dosadašnje misije u Lagranžovim tačkama. Mada Lisažuove orbite nisu savršeno stabilne, potrebne su relativno skromne korekcije za održavanje letelica na željenim orbitama. U slučaju Sunce-Zemlja L₁ tačke, pokazalo se korisnim da se svemirske misije smeste u Lasažuove orbite sa velikom amplitudom (100 000 – 200 000km), čime se smanjuje uticaj Sunčevog zračenja na komunikaciju Zemlje sa misijom.

Nasuprot kolinearnim Lagranžovim tačkama, trougaone tačke (L₄ i L₅) su tačke stabilne ravnoteže, pod uslovom da je odnos između -M₁ i M₂ veći od 24,96. Ovo je slučaj za Suncem i Zemljom, dok je odnos Zemlje i Mjeseca za nijansu manji. Kada se tijelo pomeri iz trougaone Lagranžove tačke, Koriolisova sila ga zadržava na stabilmoj, bubrežastoj orbiti oko Lagranžove tačke (posmatrano iz rotirajućeg referentnog sistema). U sistemu Zemlja-Mjesec, međutim, problem stabilnost je komplikovaniji zbog značajnog uticaja Sunčeve gravitacije

Misije u Lagranžovim tačkama

Zbog svoje specifičnosti, Lagranžove tačke su česta meta za neke vrste misija. Najčešće se misije nalaze u orbiti oko Lagranžovih tačaka, a ne u samim tačkama.

Misija	Lagranžova tačka	Agencija	Status
Napredni istraživač sastava (Šablon:Jez-engl)	Zemlja-Sunce L1	NASA	Operativan
Solarna i heliosferska opservatorija	Zemlja-Sunce L1	NASA	Operativan
Vjetar (NASA) (globalni geosvemirski satelit)	Zemlja-Sunce L1	NASA	Operativan
Postanje	Zemlja-Sunce L1	NASA	Misija završena, napustila L1 tačku
Međunarodni istraživač kometa (Šablon:Jez-engl	Zemlja-Sunce L1	NASA	Originalna misija završena, napustila L1 tačku
Klimatska opservatorija dubokog svemira	Zemlja-Sunce L1	NASA	Na čekanju
Solar-C	Zemlja-Sunce L1	Japanska agencija za svemirska istraživanja	Misija moguća posle 2010.
Vilkinsonova sonda za mikrotalasnu anizotropiju	Zemlja-Sunce L2	NASA	Operativan
Plankov satelit	Zemlja-Sunce L2	ESA	Lansiranje planirano za proleće 2009.
Heršelova svemirska opservatorija	Zemlja-Sunce L2	ESA	Lansiranje planirano za proleće 2009. (zajedno sa Plankovim Satelitom)
Džejms Veb svemirski teleskop	Zemlja-Sunce L2	NASA, ESA, Kanadska svemirska agencija	Lansiranje planirano za jun 2013. ili kasnije
SMART-1 (Mala misija za napredna tehnološka istraživanja)	Mjesec-Zemlja L1 (prolet)	ESA	Misija završena, namjerno srušena na Mjesec
Sunčeva senka	Zemlja-Sunce L2	-	Različiti predlozi
Novi horizonti	Sunce-Neptun L5 (prolet)	NASA	Lansiran, planirano da stigne 1. augusta 2014

Također pogledajte

• Ojlerov problem tri tijela
• Spisak tijela u Lagranžovim tačkama
• Mesečev svemirski lift
• Potkovičasta orbita
• Hilova sfera

Vanjski linkovi

• Objašnjenje Lagranžovih tačaka – Nil Dž Korniš engl. {{{1}}}
• nasino objašnjenje – pripisano Nilu Dž Kornišu engl. {{{1}}}
• Objašnjenje Lagranžovih tačaka – Džon Baez engl. {{{1}}}
• Geometrija i proračuni Lagranžovih tačaka – Dž R Stokton engl. {{{1}}}
• Mesta Lagranžovih tačaka, sa aproksimacijama – Dejvid Piter Stern engl. {{{1}}}
• Mrežni kalkulator za računanje tačkog položaja svih 5 Lagranžovih tačaka u sistemu bilo koja 2 tijela – Toni Dan engl. {{{1}}}