Laplaceova transformacija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, Laplaceova transformacija je jedna od najpoznatijih i najšire korištenih integralnih tranformacija. Koristi se za dobijanje jednostavno rješive algebarske jednačine iz obične diferencijalne jednačine. Ima mnogo primjena u matematici, fizici, optici, elektrotehnici, kontrolnom inženjeringu, obradi signala, te teoriji vjerovatnoće.

U matematici, koristi se za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednačina. U fizici, koristi se za analizu linearnih vremensko-invarijantnih sistema kao što su električne mreže, harmonijski oscilatori, optički instrumenti, te mehanički sistemi. U ovoj analizi, Laplaceova transformacija se često interpretira kao tranformacija iz vremenskog domena, gdje su unosi i rezultati funkcije koje zavise od vremena, u frekventni domen, gdje su isti unosi i rezultati funkcije koje zavise od kompleksne ugaone frekvencije, ili radijana po jedinici vremena. Za dati matematički ili funkcionalni opis unosa i rezultata u sistemu, Laplaceova transformacija daje alternativni funkcionalni opis, koji često pojednostavljuje proces analiziranja ponašanja sistema, ili pomaše da napišemo novi sistem baziran na određenim specifikacijama.

Oznake \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}, Laplaceova tranformacija je linearni operator funkcije f(t) (original) sa realnim argumentom t (t ≥ 0) koju transformiše u funkciju F(s) (slika) sa kompleksnim argumentom s. Ova tranformacija je, u suštini, bijektivna za većinu od praktičnih upotreba. Laplaceova transformacija ima korisnu osobinu da mnoge relacije i operacije nad originalnima f(t) odgovaraju jednostavinjim relacijama i operacijama nad slikama F(s)[1].

Historija[uredi | uredi izvor]

Potret Pierre-Simon Laplacea iz 1842. godine.

Laplaceova transformacije dobila je naziv u čast matematičara i astronoma Pierre-Simon Laplacea, koji je koristio ovu transformaciju i svojim radovima iz teorije vjerovatnoće.

Od 1744. godine, Leonhard Euler istraživao je integrale oblika:

 z = \int X(x) e^{ax}\, dx \text{ and } z = \int X(x) x^A \, dx,

— kao rješenja diferencijalnih jednačina, ali materiju nije dovoljno istražio.[2] Joseph Louis Lagrange je bio poštovalac Eulera i, u svom radu o integrisanju funkcija gustine vjerovatnoće, je istraživao izraze oblika:

 \int X(x) e^{- a x } a^x\, dx,

— koje neki moderni historičari interpretiraju kao modernu teroiju Laplaceove trasformacije.[3][4]

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

Laplaceova transformacija funkcije f(t), definisana za sve realne brojeve t ≥ 0, je funkciju F(s), definisana sa:

F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0^-}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt.

Donja granica 0 je kraća oznaka, koja znači

\lim_{\varepsilon\to 0+}\int_{-\varepsilon}^\infty ,

a koja osigurava uključenost cjelokupne Diracove delta funkcije δ(t) u 0, ako postoji takav impuls u f(t) u 0.

Parametar s je opći kompleksan broj:

s = \sigma + i \omega. \,

Ova integralna transformacija ima mnogo osobina koje je čine korisnom za analiziranje linarnih dinamičkih sistema. Najznačajnija prednost je ta da diferenciranje i integrisanje postaju množenje i dijeljenje, respektivno, sa s. (Ovo je slično načinu na koji logaritmi mijenjuaju operaciju množenje brojeva u sabiranje njihovih logaritama.) Ovaj mijenja integralne i diferencijalne jednačine u polinomske jednačine, koje je mnogo lakše riješiti. Kada se riješe, koristimo inverznu Laplaceovu transformaciju kako bi se vratili nazad na vremenski domen.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Korn and Korn, Section 8.1
  2. ^ Euler (1744), (1753) and (1769)
  3. ^ Lagrange (1773)
  4. ^ Grattan-Guinness (1997) p.260

Bibliografija[uredi | uredi izvor]

Moderna[uredi | uredi izvor]

  • G.A. Korn and T.M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill Companies; 2nd edition (June 1967). ISBN 0-07-035370-0
  • A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1986. ISBN 0-262-19229-2
  • Davies, Brian, Integral transforms and their applications, Third edition, Springer, New York, 2002. ISBN 0-387-95314-0
  • Wolfgang Arendt, Charles J.K. Batty, Matthias Hieber, and Frank Neubrander. Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, 2002. ISBN-10:3764365498

Historijska[uredi | uredi izvor]

  • Deakin, M. A. B. (1981). "The development of the Laplace transform". Archive for the History of the Exact Sciences 25: 343–390.
  • — (1982). "The development of the Laplace transform". Archive for the History of the Exact Sciences 26: 351–381.
  • Euler, L. (1744) "De constructione aequationum", Opera omnia 1st series, 22:150-161
  • — (1753) "Methodus aequationes differentiales", Opera omnia 1st series, 22:181-213
  • — (1769) Institutiones calculi integralis 2, Chs.3-5, in Opera omnia 1st series, 12
  • Grattan-Guinness, I (1997) "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. Pierre Simon Laplace 1749-1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-01185-0
  • Lagrange, J. L. (1773) "Mémoire sur l'utilité de la méthode", Œuvres de Lagrange, 2:171-234

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]