| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon. |
U algebri, Leibnizova formula izražava determinantu kvadratne matrice preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:
za matricu dimenzije n×n, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi Sn, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.
Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:
što je poznatije fizičarima.
Teorem
Postoji tačno jedna funkcija
koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je .
Dokaz
Jedinstvenost: Neka bude funkcija, i neka bude matrica dimenzije . Reći ćemo da je -ta kolona matrice , to jest , takvo da je
Također, neka označava -tu vektor kolonu matrice identiteta.
Tada se piše svaki član kao , to jest
- .
Pošto je multilinearno, imamo da je
Iz alternacije, slijedi da ako je , tada imamo
Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih -tostrukosti , i pošto implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao
Pošto je F alternativno, kolone se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:
gdje treba da bude jednako .
Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa .
Postojanje: Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.
Multilinearnost:
Alternativnost:
Sad neka bude mnogostrukost jednaka sa zamijenjenim indeksima i . Slijedi iz definicije funkcije da je .
Konačno, :
Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s , su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija
sa ove tri osobine.
- Lloyd N. Trefethen and David Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).