Leibnizovo integraciono pravilo

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, Leibnizovo pravilo za diferencijaciju pod znakom integrala, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika

 \int_{y_0}^{y_1} f(x, y) \,dy

tada se, za x \in (x_0, x_1), derivacija ovog integrala može iskazati kao

 {d\over dx}\, \int_{y_0}^{y_1} f(x, y) \,dy = \int_{y_0}^{y_1} {\partial \over \partial x} f(x,y)\,dy

uz uslov da su f i \partial f / \partial x neprekidne na oblastima oblika

[x_0,x_1]\times[y_0,y_1].\,

Granice koje su varijable[uredi | uredi izvor]

Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije a i b, kao i podintegralna funkcija ƒ( x, α ) funkcije parametra α, je:

\ \frac{d}{d\alpha}\int_a^b f(x,\alpha)\,dx = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,dx+f(b,\alpha)\frac{d b}{d \alpha}-f(a,\alpha)\frac{d a}{d \alpha}\,

gdje parcijalna derivacija od f govori da se unutar integrala samo varijacija od ƒ ( x, α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.

Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj[uredi | uredi izvor]

Slika 1: Vektorsko polje F ( r, t ) definisano kroz prostor, i površ Σ ograničena krivom ∂Σkoja se kreće brzinom v po kojoj se polje integriše.

Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:[1]

\frac {d}{dt} \iint_{ \Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r},\ t) \cdot d \mathbf{A}

  =  \iint_{\Sigma (t)}\left[ \frac {\partial}{\partial t}\mathbf{F} (\mathbf{r},\ t) + \left(\mathrm{\nabla} \cdot \mathbf{F} (\mathbf{r},\ t) \right) \mathbf{v} \right] \cdot \ d \mathbf{A}\

\  -  \oint_{\partial \Sigma (t)} \left(   \mathbf{v \times }\mathbf{F} ( \mathbf{r},\ t) \right) \cdot  d \mathbf{s}\ ,

gdje je:

F ( r, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji r u vremenu t
Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ
d A je vektorski element površi Σ
d s je vektorski element krive ∂Σ
v je brzina kretanja oblasti Σ
• je vetor divergencije
× je vektorski proizvod
Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.

Dokazi[uredi | uredi izvor]

Osnovni oblik[uredi | uredi izvor]

Prvo, pretspostavimo da vrijedi

 u(x) = \int_{y_0}^{y_1} f(x, y) \,dy.

Tada je

 {d\over dx} u(x) = \lim_{h\rightarrow 0} {u(x+h)-u(x) \over h}.

Zamjenom u prethodno imamo

 = \lim_{h\rightarrow 0} {\int_{y_0}^{y_1}f(x+h,y)\,dy-\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\,dy \over h}.

Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:

 = \lim_{h\rightarrow 0} {\int_{y_0}^{y_1}(f(x+h,y)-f(x,y))\,dy\over h}.

Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom

 = \lim_{h\rightarrow 0} \int_{y_0}^{y_1} {f(x+h,y)-f(x,y)\over h}\,dy.

Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:

 =  \int_{y_0}^{y_1} {\partial \over \partial x} f(x,y)\,dy

koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga

 {d\over dx} u(x) = \int_{y_0}^{y_1} {\partial \over \partial x} f(x, y) \,dy.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Heinz Knoepfel (2000). Magnetic fields: A comprehensive theoretical treatise for practical use, Eq. 1.4–11, p. 36, New York: Wiley-IEEE ISBN 0471322059.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]