Mertensovi teoremi

U matematici, Mertensovi teoremi su tri tezultata iz oblasti teorija brojeva iz 1874. godine, koji imaju veze sa gustoćom prostih brojeva, te jedan rezultat iz analize, koje je dokazao Franz Mertens.

U narednom, neka $p<n$ znači da svi prosto brojevi ne prelaze vrijednost $n$.

Mertensov prvi teorem:

$\ln n - \sum_{p < n} \frac{\ln p}{p} = O(1) \quad \hbox{as}\ n\to\infty,$

Pogledajte Veliko O notacija.

Mertensov drugi teorem:

$\lim_{n\to\infty}\left(-\ln\ln n+\sum_{p<n}\frac1p\right)=0.2614972128\ldots,$

pogledajte Meissel-Mertensova konstanta.

Mertensov treći teorem:

$\lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p<n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma},$

gdje je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Mertensov teorem može se, također, odnositi na rezultate ako realni ili kompleksni beskonačni red

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

konvergira u $A$, a drugi

$\sum_{n=1}^\infty b_n$

konvergira apsolutno u $B$, tada njihov Cauchyjev proizvod konvergira u $AB$.

Dalje čitanje

• Yaglom and Yaglom Challenging mathematical problems with elementary solutions Vol 2, problems 171, 173, 174