Mjera

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Mjera je apstraktni matematički pojam, a predstavlja poopćenje pojmova kao što je dužina intervala, površine plohe, zapremine tijela, kardinalnosti skupa i drugih.

Neka je X\neq\emptyset proizvoljan skup i M, \sigma- algebra podskupova od X (M\subseteq P(X)).

Pod mjerom \mu na (X,M) podrazumijevamo preslikavanje \mu:M\longrightarrow [0,+\infty) za koje vrijedi:

Zadnji uslov nazivamo \sigma- aditivnost, tj. za mjeru \mu kažemo da je \sigma- aditivna funkcija.

Sa (X,M) označavamo izmjeriv prostor, a sa (X,M,\mu) prostor mjere.

Skupove A\in M nazivamo izmjerivim skupovima.

Za mjeru \mu kažemo da je konačna mjera, ako je \mu(X) < \infty.

Za mjeru \mu kažemo da je \sigma- konačna, ako je X=\bigcup_{i\in\mathbf{N}}E_i i \mu(E_i)<\infty za svako i\in\mathbf{N}.

Primjer
  • Za X=\mathbf{R} i M=B_{\mathbf{R}}, preslikavanje \mu definisano sa \mu((a,b])=|b-a| predstavlja mjeru, i to je dužina intervala (a,b].