Navier–Stokesove jednačine

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Mehanika kontinuuma
|BernoullisLawDerivationDiagram.png
p  r  u

Navier–Stokesove jednačine, koje su dobile naziv po Claude-Louisu Navieru i Georgeu Gabrielu Stokesu, opisuju kretanje viskoznih nestišljivih fluidnih substanci. Ove jednačine dobijaju se primjenom drugog newtonovog zakona na kretanje fluida, zajedno sa pretpostavkom da je naprezanje fluida suma članova koji opisuju viskoznost (proporcionalni gradijentu brzine), plus član koji označava pritisak.

Navier–Stokesove jednačine predmet su velikog interesovanja matematike. Iako djeluje iznenađujuće, zbog njihove široke praktične upotrebe, matematičari još nisu dokazali da rješenja u tri dimenzije uvijek postoje (postojanje), ili da, ako postoje, da one ne sadrže beskonačnosti, singularnosti ili diskontinuitete (prekide). Ovi problemi nazivaju se problemi postojanja i glatkoće Navier–Stokesovih jednačina. Matematički institut Clay ovaj problem nazvao je jednim od sedam najznačajnijih otvorenih problema u matematici, te je ponudio nagradu od 1.000.000 dolara za rješenje ili kontra-primjer.

Osobine[uredi | uredi izvor]

Nelinearnost[uredi | uredi izvor]

Navier–Stokesove jednačine su nelinarna parcijalna diferencijalna jednačina u skoro svim realnim situacijama.

Turbulencija[uredi | uredi izvor]

Turbulencija je haotično ponašanje zavisno od vrmeena, koje se sreće u mnogim primjerima strujanja fluida.

Derivacija i opis[uredi | uredi izvor]

Nestišljivo strujanje newtonovih fluida[uredi | uredi izvor]

Većina radova na Navier–Stokesovim jednačinama rađena je po pretpsotavkom nestišljivog strujanja za newtonove fluide. Pretpostavke nestišljivog strujanja često važe čak i kada se radi sa stišljivim fluidom, kao što je zrak na sobnoj temperaturi (čak i kada struji brzinom do oko Mach 0,3). Uzimajući pretpostavku nestišljivog strujanja u obzir, te pretpostaviti da je viskoznost konstantna, Navier–Stokesove jednačine će glasiti[1] (u vektorskom obliku):

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}

f predstavlja "ostale" masene sile (sile po jedinici volumena), kao što su gravitacija ili centrifugalna sila. Značajno je i posmatrati značenje svakog člana (upotedite sa Cauchyjevom momentnom jednačinom):


\overbrace{\rho \Big(
\underbrace{\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Promjenljivo}\\
  \text{ubrzanje}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Konvektivno} \\
  \text{ubrzanje}
\end{smallmatrix}}\Big)}^{\text{Inercija (po volumenu)}} =
\overbrace{\underbrace{-\nabla p}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Gradijent} \\
  \text{pritiska}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mu \nabla^2 \mathbf{v}}_{\text{Viskoznost}}}^{\text{Divergencija napona}} + 
\underbrace{\mathbf{f}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Ostale} \\
  \text{masene} \\
  \text{sile}
\end{smallmatrix}}

Pravougle koordinate[uredi | uredi izvor]

Eksplicitno zapisujemo vektorsku jednačinu,

 \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}\right) =  -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + \rho g_x
 \rho \left(\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right) + \rho g_y
 \rho \left(\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) + \rho g_z

Uočite da je gravitacija uvrštena kao masena sila, te da će vrijednosti g_x, g_y, g_z zavisiti od orijentacije gravitacija u odnosu na odabrane koordinate.

Jednačina kontinuiteta glasi:

{\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y} + {\partial w \over \partial z} = 0

Uočite da su komponente brzine (zavisne varijable za koje će problem biti riješen) u, v i w. Ovaj sistem od četiri jednačine predstavlja najčešće korišteni i proučavani oblik. On predstavlja nelinearni sistem parcijalnih diferencijalnih jednačina, čija rješenja je prilično teško pronaći.

Cilindrične koordinate[uredi | uredi izvor]

Promjena varijabli u jednačinama u pravouglom koordinatnom sistemu dobit ćemo[1] slijedeće momentne jednačine za r, θ i z:


\rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{u_{\theta}^2}{r}\right) = 
-\frac{\partial p}{\partial r} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_r}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2} - \frac{u_r}{r^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}\right] + \rho g_r

\rho \left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + u_z \frac{\partial u_{\theta}}{\partial z} + \frac{u_r u_{\theta}}{r}\right) = 
-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_{\theta}}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u_{\theta}}{\partial z^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{r^2}\right] + \rho g_{\theta}

\rho \left(\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_z}{\partial \theta} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}\right) = 
-\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right] + \rho g_z

Komponente gravitacije, općenito, neće biti konstantne, međutim, za većinu primjena se, ili koordinate izaberu tako da komponente gravitacije budu konstantnu ili se pretpostavi da se gravitaciji suprostavlja polje pritiska (na primjer, strujanje u horizontalnoj cijevi se tretira normalno, bez gravitacije i bez gradijenta vertikalnog pritiska). Jednačina kontinuiteta glasi:


\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r u_r\right) + 
\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + 
\frac{\partial u_z}{\partial z} = 0.

Ovo predstavljanje Navier–Stokesovih jednačina za nestišljivo strujanje u cilindričnim koordinatama je drugo po frekvenciji pojavljivanja i korištenja u teoriji i praksi (prvo je bilo predstavljanje u pravouglim koordinatama, opisano iznad). Cilindrične koordinate se biraju kako bi se iskoristila simetrija, tako da se komponente brzine mogu poništiti. Vrlo čest primjer osno simetričnog strujanja, gdje nema tangencijalne brzine (u_{\theta} = 0), dok ostale veličine ne zavise od \theta:


\rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z}\right) = 
-\frac{\partial p}{\partial r} +
\mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2} - \frac{u_r}{r^2}\right] + \rho g_r

\rho \left(\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}\right) = 
-\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right] + \rho g_z

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r u_r\right) + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0.

Sferne koordinate[uredi | uredi izvor]

U sfernim koordinatama, momentne jednačine za r, \theta i \phi su[2]):


\rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} - \frac{u_{\phi}^2 + u_{\theta}^2}{r}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \rho g_r

\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_r}{\partial \phi^2} + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_r}{\partial \theta}\right) - 
2 \frac{u_r + \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + u_{\theta} \cot(\theta)}{r^2} + 
\frac{2}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi}
\right]

\rho \left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_r u_{\theta} - u_{\phi}^2 \cot(\theta)}{r}\right) = -\frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial \theta} + \rho g_{\theta}

\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right) + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_{\theta}}{\partial \phi^2} + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}\right) + 
\frac{2}{r^2} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} - 
\frac{u_{\theta} + 2 \cos(\theta) \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi}}{r^2 \sin(\theta)^2}
\right]

\rho \left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta} + \frac{u_r u_{\phi} + u_{\phi} u_{\theta} \cot(\theta)}{r}\right) = -\frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial p}{\partial \phi} + \rho g_{\phi}

\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial \phi^2} + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta}\right) + 
\frac{2 \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + 2 \cos(\theta) \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi} - u_{\phi}}{r^2 \sin(\theta)^2}
\right]

Jednačina kontinuiteta mase će glasiti:


\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 u_r\right) + 
\frac{1}{r \sin(\theta)}\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi} + 
\frac{1}{r \sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) u_\theta\right) = 0

Ove jednačine mogle bi biti pojednotavljene sa, na primjer, faktorizovanjem \frac{1}{r^2} iz članova koji opisuju viskoznost. Međutim, ovo se ne radi kako bi se očuvala struktura Laplacijana i ostalih veličina.

Formulacija funkcije strujanja[uredi | uredi izvor]

Računajući rotor Navier–Stokesove jednačine rezultira eliminacijom pritiska. Ovo je posebno lagano za uočiti ako se pretpostavi dvodimenzionalno strujanje u pravouglim koordinatama (w = 0, te da da postoji veličina koja zavisi od z). Tada se jednačina svodi na:

 \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}\right) =  -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) + \rho g_x
 \rho \left(\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}\right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right) + \rho g_y

Diferenciranjem prve po y, a druge po x, te oduzimanjem, dobijamo jednačine u kojima je eliminisan pritisak i svaka potencijalna sila. Definisanjem funkcije strujanja \psi preko

u = \frac{\partial \psi}{\partial y} \quad ; \quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}

rezultira time da je uslov kontinuiteta mase bezuslovno zadovoljen (ako je data funkcija strujanja neprekidna), te se tada početna jednačina svodi na jednu, koja glasi:

\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla^2 \psi\right) + \frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}\left(\nabla^2 \psi\right) - \frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}\left(\nabla^2 \psi\right) = \nu \nabla^4 \psi

gdje je \nabla^4 biharmonijski operator i \nu je kinematska viskoznost, \nu=\frac{\mu}{\rho}. Ova jednačina, zajedno sa određenim graničnim uslovima, opisuje dvodimenzionalno strujanje fluida, uzimajući samo kinematsku viskoznost kao parametar. Uočite da se jednačina za Stokesovo strujanje dobija kada se pretpostavit da je desna strana jednačine jednaka nuli.

Stišljivo strujanje newtonovih fluida[uredi | uredi izvor]

Postoji neki izuzetni fenomeni koji su usko povezani sa stišljivošću fluida. Jedan od očitih primjera je zvuk. Opisivanje takvom fenomena zahtijeva općenitije predstavljanje Navier–Stokesovih jednačina, koje uzima u obzir stišljivost fluida. Ako se pretpostavi da je viskoznost konstantna, pojavljuje se jedan dodatni član, kao što je ovdje prikazano:

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f} +(\mu /3 + \mu^v) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})

gdje je \mu^v drugi koeficijent viskoznosti. Ovaj koeficijent povezan je sa volumskom viskoznosti. Ovaj dodatni član nestaje kada imamo nestišljiv fluid, kada je divergencija strujanja jednaka nuli.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Acheson, D. J. (1990). Elementary Fluid Dynamics, Oxford University Press ISBN 0198596790.
  • Batchelor, G.K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0521663962 
  • Rhyming, Inge L. (1991), Dynamique des fluides, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne 
  • Polyanin, A.D.; Kutepov, A.M.; Vyazmin, A.V.; Kazenin, D.A. (2002), Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8 

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

  1. ^ a b See Acheson (1990).
  2. ^ Spherical Coordinates.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]