Normala

Normala je prava ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivu, normala na površ)

U datoj ravni u kojoj je data prava a i tačka P postoji jedna i samo jedna prava koja prolazi kroz datu tačku i normalna je na datu pravu. Pravu $P$ koja prolazi kroz datu tačku i normalna je na pravu $a$ nazivamo normalom (okomicom) prave $a$ u tački $P$.

Pravi ugao

Ako imamo dvije normalne prave $a$ i $b$ i uglove koje one čine α₁; α₂; α₃ i α₄,. U simetriji s_b preslikava ugao α₁ na α₄, ugao α₂; na α₃. Iz ovog zaključujemo da je α₁ = α₄ i α₂ = α₃.

Definicija 1

Svaki od uglova koje čine normalne prave je pravi ugao.

Teorema 1

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne na treću pravu u toj ravni su paralelne prave.

Definicija 2

Tačka X₀, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a. Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.

Normalne 2 prave

Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su $p$ i $q$ dvije mimoilazne prave. Odaberimo jednu tačku $A$ na pravoj $p$. Kroz tu tačku prolazi tačno jedna prava paralelna s pravom $q$ (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo tu pravu sa $q_{1}$.

Kažemo da su prave $p$ i $q$ su norrmalne ako su prave $p$ i $q_{1}$ normalne.Pišemo $p\perp q$.

Normalnost prave i ravni

Kažemo da je prava $p$ normalna na ravan $\alpha$ ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

Normalnost dvije ravni

Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku $T$ i datu ravan $\pi$ postoji jedinstvena prava kroz $T$ koja je normalna na ravan $\pi$

Definicija

Ortogonalna projekcija tačke $T$ na ravan $\pi$ je probodište ravni $\pi$ i prave $q$ koja prolazi kroz $T$ i normalna je na $\pi$.

Teorema o tri normale

Ako je ortogonalna projekcija $p'$ prave $p$ na ravan $\pi$ normalna na neku pravu $q$ te ravni, onda je i prava $p$ normalna na $q$.

Vrijedi i obratno

Ako je prava $p$ normalna na $q$, onda je $p'$ normalna na $q$.

Normala na površ

Vektorsko polje normala na površinu

Vektor normale na površ u tački $T$ je vektor normalan na tangentnu ravan površi u tački $T$. U slučaju ravne površi, očito je to vektor normalan na samu tu ravan, i dat je vektorskim proizvodom bilo kojih dvaju vektora koji leže u ravni. Ravan može imati normalu u dva smjera.

Normala na opštu površ, parametriziranu sistemom krivolinijskih koordinata $\mathbf {x} (s,t)$, gdje su $s$ i $t$ realne promjenljive, data je vektorskim proizvodom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

${\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}.$

Normala na opštu površ, zadatu implicitno jednačinom

$f(x,y,z)=0,$

u toački $T=(x,y,z)$ data je gradijentom:

$\nabla f(x,y,z).$

Izuzeče

Ako određena površ u nekoj tački nema definisanu tangentnu ravan, onda tu nema definisanu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definisanu normalu na spoju omotača i baze, kupa nema normale u vrhu, u dvije dimenzije, funkcija $f(x)=|x|$ nema definisanu normalu u koordinantnom početku.

Jedinstvenost

Već smo kod normale na krivu mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer. Vektor normale na pravu već ima dva moguća smjera. Za orjentisanu površ, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, „gleda prema van”.

Izvori

Tangenta i normala

Stereometrija