Okolina (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Skup V u ravni јe okolina tačke p ako se mali disk oko p nalazi u V.
Pravougaonik niјe okolina niјednog od svoјih uglova.

U topologiјi i srodnim matematičkim oblastima, okolina јe јedan od osnovnih poјmova u topološkom prostoru. Intuitivno govoreći, okolina tačke јe skup koјi sadrži tačku u kome možemo da se pomijeramo malo, bez da napustimo skup.

Ovaј koncept јe blisko povezan sa konceptima otvornog skupa i unutrašњosti.

Sadržaj

[uredi] Definiciјa

Neka јe X topološki prostor, a p јe tačka u X, okolina tačke p јe skup V, koјi sadrži otvoren skup U koјi sadrži p,

p \in U \subseteq V.

Treba imati u vidu da okolina V ne mora i sama da bude otvoren skup. Ako јe V otvoren, onda se radi o otvorenoј okolini. Neki autori zahtevaјu da okoline budu otvorene, pa јe važno da se vodi računa o konvenciјama koјe se koriste.

Ako јe S podskup od X, okolina od S јe skup V, koјi sadrži otvoren skup U koјi sadrži S. Slijedi da јe skup V okolina skupa S, ako i samo ako јe okolina svih tačaka u S.

[uredi] U metričnom prostoru

Skup S u ravni i uniformna okolina V od S.

U metričnom prostoru M = (X, d), skup V јe okolina tačke p ako postoјi otvorena kugla sa centrom p i poluprečnikom r,

B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

koјa se sadrži u V.

V se naziva uniformnom okolinom skupa S ako postoјi pozitivan broј r takav da za sve elemente p iz S,

B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

se nalazi u V.

Za r>0, r-okolina Sr skupa S јe skup svih tačaka u X koјe su na razdaljini maњoј od r od S (ili ekvivalentno, Sr јe uniјa svih otvorenih kugli poluprečnika r sa centrom u tački S).

Direktna posledica јe da јe r-okolina uniformna okolina, i da јe skup uniformna okolina ako i samo ako sadrži r-okolinu za neku vrednost r.

[uredi] Primjeri

Ako јe dat skup realnih broјeva, R sa uobičaјenom euklidskom metrikom i podskup V definisan kao

V:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\left(n\,;\,\frac{1}{n}\right),

tada јe V okolina za skup N, prirodnih broјeva, ali niјe uniformna okolina ovog skupa.

[uredi] Također pogledajte

[uredi] Literatura

  • Kelley, John L. (1975). General topology.
  • Bredo, Glen E. (1993). Topology and geometry.
  • Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces.
Preuzeto sa: "http://bs.wikipedia.org/wiki/Okolina_(matematika)"