Osnovne trigonometrijske formule

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)

Funkcije jednog ugla[uredi | uredi izvor]

\sin ^2\alpha + \cos ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha, \quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1,
\sec ^2 \alpha - \tan ^2 \alpha = 1, \qquad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1,
\csc ^2 \alpha - \cot ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1

Međusobno izražavanje funkcija[uredi | uredi izvor]

 \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} = \frac{ \tan \alpha}{ \sqrt{ 1 + \tan ^2 \alpha}},
\cos \alpha = \sqrt{1- \sin ^2 \alpha}=\frac{1}{\sqrt{1+ \tan ^2 \alpha}} ,
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}=\frac{1}{\cot \alpha},
\cot \alpha = \frac{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}{\sin \alpha}= \frac{1}{\tan \alpha}.

Funkcije zbira i razlike[uredi | uredi izvor]

\sin ( \alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,\,
\cos (\alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,
\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}, \quad \cot ( \alpha \pm \beta ) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}.
\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},


\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,
\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \quad \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,
\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \quad \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},
\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}, \quad \cot3\alpha=\frac{\cot^3\alpha-3\cot\alpha}{3\cot^2\alpha-1},
\tan4\alpha=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}, \quad \cot4\alpha=\frac{\cot^4\alpha-6\cot^2\alpha+1}{4\cot^3\alpha-4\cot\alpha}.

Na osnovu ovih formula možemo odrediti predznak trigonometrijskih funkcija po kvadrantima


Kvadrant 0°- 90° 90°- 180° 180°- 270° 270°- 360°
sinus + + - -
kosinus + - - +
tangens + - + -

Zbir i razlika trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi izvor]

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},
\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin (\alpha\pm\beta )}{\cos\alpha\cos\beta}, \quad \cot\alpha\pm\cot\beta=\pm\frac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},
\tan\alpha+\cot\beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}, \quad \cot\alpha-\tan\beta=\frac{cos (\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.

Proizvod funkcija[uredi | uredi izvor]

\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)],
\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)],
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)].

Funkcije polovine ugla[uredi | uredi izvor]

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},
\tan\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
\cot\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.

Stepenovanje funkcija[uredi | uredi izvor]

\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha), \quad \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha),

\sin^3\alpha=\frac{1}{4}(3\sin\alpha-\sin3\alpha), \quad \cos^3\alpha=\frac{1}{4}(\cos3\alpha+3\cos\alpha), \sin^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha-4\cos2\alpha+3), \quad \cos^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha+4\cos2\alpha+3).