Paraboloid

Paraboloid je geometrijsko tjelo, njegovi rezovi ravni su dvije parabole i elipsa ili hiperbola.

Pojmom paraboloid biva označen omotač navedenog tjela.

Eliptični paraboloid

Eliptični parabolid

Eliptični paraboloid je tjelo, čija baza ima eliptični oblik.

Algebarski model

Eliptični paraboloid s vrhom u tački $[x_0,y_0,z_0]$ i ravni simetrije paralelnim s ravni $x=0$ i $y=0$ ima jednačinu

$z-z_0 = \frac{{(x-x_0)}^2}{2p} + \frac{{(y-y_0)}^2}{2q}$,

gdje $pq>0$.

Rotacioni paraboloid

Rotacioni paraboloid.

Rotacioni paraboloid je tjelo omeđeno prostorom, koji nastane rotacijom parabole oko njene ose i krugom, koji tvori bazu tjela.

Alegebarski model

Rotacioni paraboloid s vrhomm u tački $[x_0,y_0,z_0]$ je specijalan slučaj eliptičnog parabolida, za koji vrijedi $p = q$, to znači za rotacioni paraboloid s osoom rotacije paralelnoj s osom $z$ vrijedi

$2p(z-z_0) = {(x-x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2$.

Osobine

Volumen rotacionog paraboloida je

$V = \frac{1}{2}\pi \rho^2 h$,

gdje $\rho$ je poluprečnik kružne baze i $h$ je visina paraboloida.

Hiperbolički paraboloid

Hiperbolički paraboloid.

Osim eliptičnog postoji i hiperbolički paraboloid.

Algebarski model

Hyperbolický paraboloid s vrhom u tački $[x_0,y_0,z_0]$ i ravni simetrije paralelne s ravni $x=0$ i $y=0$ ima jednačinu

$z-z_0 = \frac{{(x-x_0)}^2}{2p}-\frac{{(y-y_0)}^2}{2q}$,

gdje $pq>0$.

Osobine

U oblasti hiperboličkog parabolida postoje dva sistema pravih, pri čemu svaka prava jednog sistema presjeca svaku pravu drugog sistema, ili proizvoljne dvije prave jednog sistema su mimoilazne. Za paraboloid se centrom u tački $[0,0,0]$ mogu se oba sistema pravih zapisati kao

$k_1\left(\frac{x}{\sqrt{2|p|}}+\frac{y}{\sqrt{2|q|}}\right) = \frac{p}{|p|}k_2z$

$k_2\left(\frac{x}{\sqrt{2|p|}}-\frac{y}{\sqrt{2|q|}}\right)=k_1$

$k_1\left(\frac{x}{\sqrt{2|p|}}-\frac{y}{\sqrt{2|q|}}\right)=\frac{p}{|p|}k_2z$

$k_2\left(\frac{x}{\sqrt{2|p|}}+\frac{y}{\sqrt{2|q|}}\right)=k_1$

Također pogledajte

• Parabola