Parcijalna integracija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

Pravilo[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo \int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx gdje koristimo standardne oznake

\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).

Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je

 f(b)g(b) - f(a)g(a)\, = \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx
=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx.

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi

\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\,dx,

ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

\int u\,dv = u v - \int v\,du.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Kako bi izračunali

\int x\cos (x) \,dx

napišemo:

u = x, tako da je du = dx,
dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).

Zatim:


\begin{align}
  \int x\cos (x) \,dx & = \int u \,dv \\
  & = uv - \int v \,du \\
  & = x\sin (x) - \int \sin (x) \,dx \\
  & = x\sin (x) + \cos (x) + C
\end{align}

gdje je C arbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

\int x^{3} \sin (x) \,dx \quad \mbox{and} \quad \int x^{2} e^{x} \,dx

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

\int e^{x} \cos (x) \,dx

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

u = cos(x); thus du = -sin(x)dx
dv = exdx; thus v = ex

Zatim:

\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin (x) \,dx

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:

u = sin(x); du = cos(x)dx
v = ex; dv = exdx

Zatim:

\int e^{x} \sin (x) \,dx = e^{x} \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + e^x \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

2 \int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) )
\int e^{x} \cos (x) \,dx = {e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) \over 2}

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:

\int \ln (x) \cdot 1 \,dx

Napišimo:

u = ln(x); du = 1/x dx
v = x; dv = 1·dx

Zatim:

\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx
= x \ln (x) - \int 1 \,dx
\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - {x} + {C}
\int \ln (x) \,dx = x ( \ln (x) - 1 ) + C

gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponov napišemo kao:

\int \arctan (x) \cdot 1 \,dx

Napišimo:

u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
v = x; dv = 1·dx

Zatim:

\int \arctan (x) \,dx = x \arctan (x) - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx
= x \arctan (x) - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C

koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.

Više dimenzije[uredi | uredi izvor]

[icon] Ova sekcija zahtijeva proširenje.

Kulturološke reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]