Pitagorina teorema

Pitagorin teorem: Površina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbiru površina kvadrata nad katetama.

U matematici, Pitagorin teorem je odnos u Euklidskoj geometriji između tri stranice pravouglog trougla. Teorem je nazvan po grčkom filozofu i matematičaru iz 6. vijeka p.n.e. Pitagori, iako je teorem bio poznat indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorinog teorema može se naći u Euklidovim 'Elementima.

Pitagorin teorem kaže:

Površina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbiru površina kvadrata nad katetama.

Pravougli trougao je trougao sa jednim pravim uglom (od 90 stepeni). Katete su dvije strane koje čine pravi ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom uglu. U slici ispod, a i b su katete pravuglog trokuta, a c je hipotenuza:

Historija

Trigonometrija

Historija Upotrebe Funkcije Inverzne funkcije Dalje čitanje

Reference

Spisak identiteta Tačne konstante Trigonometrijske tablice CORDIC

Euklidova teorija

Sinusni teorem Kosinusni teorem Tangensni teorem Pitagorin teorem

Kalkulus

Trigonometrijski integral Trigonometrijska substitucija Integrali funkcija Derivacije funkcija Integrali inverznih funkcija

Pitagora je shvatio teorem u ovom geometrijskom stilu, kao iskaz o površinama kvadrata:

Zbir površina plavog i crvenog kvadrata su jednake površini ljubičastog kvadrata.

Koristeći algebru, može se preformulirati ovaj teorem u moderni izraz sa opaskom da je površina kvadrata kvadrat dužine njegove stranice:

Uzimajuči da je trougao sa katetama dužina a i b i hipotenuze dužine c, onda vrijedi

a² + b² = c².

Dokazi

Ovo je teorem koji može imati više poznatih dokaza nego bilo koji drugi (pravilo kvadratne recipročnosti također je poznato po mnogim dokazima); knjiga Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.

Neki argumenti bazirani na trigonometrijskim identitetima (kao što je Taylorov red za sinus i kosinus) predloženi su kao dokaz za teorem. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorinog teorema, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Datoteka:Proof-Pythagorean-Theorem.svg Kao i većina dokaza Pitagorinog teorema, ovaj je baziran na proporcionalnosti stranica dva siličnih trouglova.

Neka je ABC pravougli trougao, sa pravim uglom u tački C, kao što je prikazano na slici. Visinu povlačimo iz tačke C, a tačku H nazivamo presjek te visine sa stranicom AB. Novi trougao ACH je sličan našem početnom trouglu ABC, jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački A, što znači da će i trići ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan sa ABC. Sličnosti vode do dvije relacije..: Kako je

$BC=a, AC=b, \text{ i } AB=c, \!$

tako je

$\frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ i } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,$

Ovo se može pisati kao

$a^2=c\times HB \mbox{ i }b^2=c\times AH. \,$

Sumiranjem ove dvije jednakosti, dobijamo

$a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\!$

Drugim riječima, Pitagorin teorem:

$a^2+b^2=c^2.\,\!$

Također pogledajte

• Pitagora
• Kvadratni korijen od 2

Vanjski linkovi

• Nekoliko dokaza Pitagorine teoreme
• Dijkstra's generalization
• Babilonska ploča kao dokaz poznavanja teoreme