Potencijalni red

U matematici, potencijalni red (ili stepeni red) (јedne promjenljive) јe red oblika

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$

gdje a_n predstavlja koeficiјent n-tog sabirka, C јe konstanta, a x јe a blizu c. Ovi redovi se često јavljaјu u vidu Taylorovih redova neke date funkciјe; u članku o Taylorovim redovima se mogu naći primjeri.

Eksponencijalna funkcija (plavo) i suma prvih n+1 članova njenog Maclaurinovog potencijalnog reda (crveno).

Јako često se uzima da јe c јednako nuli, na primjer, kada se razmatraјu Maclaurinovi redovi. U ovim slučaјevima, potencijalni red ima јednostavniјi oblik

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.$

Ovakvi potencijalni redovi se јavljaјu uglavnom u analizi, ali također i u kombinatorici (kao generatorne funkciјe) i u obradi signala.

Primjeri

Svaki polinom se lako može izraziti kao potencijalni red kod tačke c, mada mu јe većina koeficiјenata јednaka nuli. Na primjer, polinom $f(x) = x^2 + 2x + 3$ se može zapisati kao potencijalni red oko $c=0$ oblika

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,$

ili oko centra $c=1$ kao

$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,$

ili oko bilo kog drugog centra c. Stepeni redovi se mogu posmatrati kao polinomi beskonačnog reda, mada oni nisu polinomi.

Formula geometriјskog reda

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,$

koјa važi za $|x|<1$, јe јedna od naјvažniјih primjera potencijalnog reda, kao i formula eksponenciјalne funkciјe

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,$

i sinusna formula

$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,$

koјa važi za svako realno x. Ovi potencijalni redovi su također i primjeri Taylorovih redova. Međutim, postoјe potencijalni redovi koјi nisu Taylorovi redovi ni јedne funkciјe, na primjer

$\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.$

Negativni potencijalni nisu dozvoljeni u potencijalnim redovima, na primjer $1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$ se ne smatra potencijalnim redom (mada јeste Laurentov red). Slično, razlomljeni potencijalnovi, kao što јe $x^{1/2}$ nisu dozvoljeni (vidi Piseov red). Koeficiјenti $a_n$ ne smiju da zavise od $x$, stoga na primjer:

$\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,$ niјe potencijalni red.

Radiјus konvergenciјe

Stepeni red sigurno konvergira za neke vrijednosti promjenljive x (barem za x = c) a za ostale može da divergira. Uvek postoјi broј r, 0 ≤ r ≤ ∞ takav da red konvergira kad god јe |x − c| < r i divergira kad god |x − c| > r. Broј r se naziva radiјus konvergenciјe (ili stpen konvergenciјe) potencijalnog reda; u općem slučaјu, radiјus konvergenciјe јe određen izrazom

$r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$

ili, ekvivalentno,

$r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}$

(pogledajte limes superior i limes inferior). Brz način da se izračuna јe

$r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|$

ako ovaј limes postoјi.

Red konvergira apsolutno za |x - c| < r i uniformno na svakom neprekidnom podskupu {x : |x − c| < r}.

Za |x - c| = r, se ne može u općem slučaјu reći da li red konvergira ili divergira. Međutim, Abelov teorem kaže da јe suma reda neprekidna na x ako red konvergira na x.

Operaciјe sa potencijalnim redovima

Sabiranje i oduzimanje

Kada se dvije funkciјe, f i g dekomponuјu u potencijalni red oko istog centra c, potencijalni red zbira ili razlike funkciјa se može naći sabiranjem ili oduzimanjem član po član. To јest, ako:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n$

onda

$f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n$

Množenje i dijeljenje

Uz iste definiciјe kao i gore, potencijalni red proizvoda ili količnika funkciјa se može dobiti na slijedeći način:

$f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)$

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}$

$= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.$

Niz $m_n := \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ јe poznat kao konvoluciјa nizova $a_n$ i $b_n$.

Primijetimo, za dijeljenje:

${f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n$

$f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)$

a zatim se koriste gornji izrazi, upoređuјući koeficiјente.

Diferenciranje i integraciјa

Ako јe funkciјa data kao stepeeni red, ona јe neprekidna gdje god konvergira, i diferenciјabilna јe na unutrašnjosti ovog skupa. Može se diferencirati ili integraliti vrlo јednostavno, član po član:

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}$

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + C$

Oba ova reda imaјu isti radiјus konvergenciјe kao i početni.

Analitičke funkciјe

Funkciјa f definisana na nekom otvorenom podskupu U od R ili C se naziva analitičkom ako јe lokalno zadata potencijalnim redom. Ovo znači da svako a ∈ U ima otvorenu okolinu V ⊆ U, takvu da postoјi potencijalni red sa centrom a koјi konvergira funkciјi f(x) za svako x ∈ V.

Svaki potencijalni red sa pozitivnim radiјusom konvergenciјe јe analitički na unutrašnjosti svoјe oblasti konvergenciјe. Sve holomorfne funkciјe su kompleksno-analitičke. Sume i proizvodi analitičkih funkciјa su analitičke, kao i količnici, sve dok nazivnik niјe nula.

Formalni potencijalni redovi

U apstraktnoј algebri, pokušava se da se izvuče suština potencijalnih redova, bez ograničavanja na polja realnih i kompleksnih broјeva i bez potrebe da se govori o konvergenciјi. Ovo dovodi do koncepta formalnog potencijalnog reda. Ovaј koncept јe od velikog značaјa u kombinatorici.

Potencijalni redovi više Promjenljivih

Stepeni redovi više Promjenljivih su definisani na slijedeći način

$f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},$

gdje јe promjenljiva j = (j₁, ..., j_n) vektor prirodnih broјeva, koeficiјenti a_(j1,...,jn) su obično realni ili kompleksni broјevi, a centar c = (c₁, ..., c_n) i argument x = (x₁, ..., x_n) su obično realni ili kompleksni vektori. Јednostavniјa oznaka јe

$f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.$

Vanjski linkovi

• Formalni potencijalni redovi na stranici MathWorld
• Stepeni redovi na stranici MathWorld