Pravilo derivacije količnika

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U kalkulusu, pravilo derivacije količnika je metoda izračunavanja derivacije funkcije koja je prikazana kao količnik druge dvije funkcije za koje derivaicja postoji.

Ako je funckija f(x) ta koju deriviramo, može se pisati kao:

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

gdje je h(x) ≠ 0, tada je derivacija fnkcije g(x) / h(x) jednaka:

\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.

Ili, prezicnije, za svako x u nekom otvorenom intervalu, a koje sadrži a, uz h(a) ≠ 0; i da postoje i g'(a) i h'(a); tada, f'(a) također postoji:

f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}.

[uredi] Primjeri

Derivacija od (4x − 2) / (x2 + 1) je:

\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1} =\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}
=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}

U gornjem primjeru, odabrali smo

g(x) = 4x − 2
h(x) = x2 + 1

Analogijski, derivacija sin(x) / x2 (kada je x ≠ 0) je:

\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}

Za više informacija o derivacijama trigonometrijskih funkcija, pogledajte: Derivacija funkcije.

Drugi primjer je:

f(x) = \frac{2x^2}{x^3}

gdje imamo g(x) = 2x2 i h(x) = x3, te g'(x) = 4x i h'(x) = 3x2.

Derivacija f(x) se računa na sljedeći način:

f'(x)\, =\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}
=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}
=\frac{-2x^4}{x^6}
=-\frac{2}{x^2}

[uredi] Dokaz

Pretpostavimo funkciju f(x) = g(x) / h(x)
gdje je h(x)≠ 0 i gdje su funkcije g i h diferencijabilne.
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}
= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}
= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

[uredi] Također pogledajte

Preuzeto sa: "http://bs.wikipedia.org/wiki/Pravilo_derivacije_koli%C4%8Dnika"