Pravilo derivacije količnika

Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem Limesi funkcija Kontinuitet Teorem srednje vrijednosti Diferencijacija  Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Smjena varijabli Implicitna diferencijacija Taylorov teorem Povezane vrijednosti Identititeti Integracija  Spisak integrala Nepravi integrali Vrste integracija: parcijalna, disk, cilindrične ljuske, substitucija, trigonometrijska substitucija, parcijalni razlomci, mijenjanje reda Vektorski kalkulus  Gradijent Divergencija Rotor Laplasijan Teorem gradijenta Greenov teorem Stokesov teorem Teorem divergencije Kalkulus više promjenljivih  Matrični kalkulus Parcijalna derivacija Višestruki integral Linijski integral Površinski integral Zapreminski integral Jacobijan

U kalkulusu, pravilo derivacije količnika je metoda izračunavanja derivacije funkcije koja je prikazana kao količnik druge dvije funkcije za koje derivaicja postoji.

Ako je funckija $f(x)$ ta koju deriviramo, može se pisati kao:

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

gdje je $h(x)$ ≠ $0$, tada je derivacija fnkcije $g(x)/h(x)$ jednaka:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.$

Ili, prezicnije, za svako $x$ u nekom otvorenom intervalu, a koje sadrži $a$, uz $h(a)$ ≠ $0$; i da postoje i $g'(a)$ i $h'(a)$; tada, $f'(a)$ također postoji:

$f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}.$

Primjeri

Derivacija od $(4x - 2)/(x^2 + 1)$ je:

$\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$	$=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

U gornjem primjeru, odabrali smo

$g(x) = 4x - 2$

$h(x) = x^2 + 1$

Analogijski, derivacija $\sin(x)/x^2$ (kada je $x$ ≠ 0) je:

$\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}$

Za više informacija o derivacijama trigonometrijskih funkcija, pogledajte: Derivacija funkcije.

Drugi primjer je:

$f(x) = \frac{2x^2}{x^3}$

gdje imamo $g(x) = 2x^2$ i $h(x) = x^3$, te $g'(x) = 4x$ i $h'(x) = 3x^2$.

Derivacija $f(x)$ se računa na sljedeći način:

$f'(x)\,$	$=\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}$
	$=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}$
	$=\frac{-2x^4}{x^6}$
	$=-\frac{2}{x^2}$

Dokaz

Pretpostavimo funkciju $f(x) = g(x)/h(x)$

gdje je $h(x)$≠ 0 i gdje su funkcije $g$ i $h$ diferencijabilne.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}$

$= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}$

$= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

Također pogledajte

• Pravilo derivacije proizvoda
• Pravilo derivacije složene funkcije