Pravilo derivacije složene funkcije

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije.

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

Definicija[uredi | uredi izvor]

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

 (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\,

koje se kraće piše u formi  (f \circ g)' = f'\circ g\cdot g'.

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}.

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

Dokaz pravila derivacije složene funkcije[uredi | uredi izvor]

Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x. Tada je difinicija diferencijabilnosti,

 g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,

gdje ε(δ) → 0 kada δ → 0. Slično,

 f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha)\alpha \,

gdje η(α) → 0 kada α → 0. Također definišimo[1] da je

 \eta(0) = 0 \,

Sada je

 f(g(x+\delta))-f(g(x))\, = f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)\delta) - f(g(x)) \,
 = \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta)\alpha_\delta \,

gdje je

\alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta. \,

Uočite da kada δ → 0, αδ/δg′(x) i αδ → 0, te zbog toga η(αδ) → 0. Slijedi da je

 \frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x))\mbox{ as } \delta \to 0.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Primjer I[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo f(x) = (x^2 + 1)^3. Imamo f(x)=h(g(x)) gdje je g(x) = x^2 + 1 i h(x) = x^3. Zbog toga,

f '(x) \, = 3(x^2 + 1)^2(2x) \,
= 6x(x^2 + 1)^2. \,

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

f(x) = \sin(x^2),\,

možemo pisati f(x) = h(g(x)) sa h(x) = \sin x i g(x) = x^2. Tada dobijamo

f'(x) = 2x \cos(x^2) \,

pošto je h'(g(x)) = \cos (x^2) i g'(x) = 2x.

Primjer II[uredi | uredi izvor]

Difercencirajmo \arctan\,\sin\, x, itd.

\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}
\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}
\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Da bismo uočili da je ovo potrebno, pretpostavite, na pruimjer, da je g konstantna funkcija.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]