Prirodni logaritam

Prirodni logaritam, od prije poznat kao hiperbolički logaritam, je logaritam za bazu e, gdje je e iracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Napierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije. Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja x je stepen na kojeg se diže broj e kako bi se dobio taj broj x — na primjer, prirodni logaritam broja e je 1 zato što je e¹ = e, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je e⁰ = 1. Prirodni logaritam može se definisati za sve pozitivne realne brojeve x kao površina ispod krive y = 1/t u granicama od 1 do x, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule, kao što je obješnjeno u tekstu ispod.

Grafik funkcije prirodnog logaritma. Funkcija polahko raste ka pozitivnoj beskonačnosi kada x raste, a polahko ide na negativnog beskonačnosti kada x teži ka nula 0.

Dio serije članaka o matematičkoj konstanti e Prirodni logaritam Primjene u: Složena kamata · Eulerov identitet i Eulerova formula  · Poluživoti i eksponencijalni rast/opadanje Definicije broja e: Dokaz da je e iracionalan broj  · Predstavljanja broja e · Lindemann–Weierstrassov teorem Ljudi John Napier  · Leonhard Euler Schanuel's conjecture

Funkcija prirodnog logaritma može se difinisati i kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

$e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{ako je }x > 0\,\!$

$\ln(e^x) = x.\,\!$

Drugim riješima, logaritamska funkcija je bijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao funkcija:

$\ln : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.$

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu e, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

Konvencije o oznakama

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(x)" ili "ln(x)" u značenju log_e(x), npr., prirodni logaritam od x, i pišu "log₁₀(x)" ako se traži logaritam baze 10 od x.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(x)" (ili ponekad "log_e(x)") kada koriste prirodni logaritam od x, a koriste "log(x)" kada koriste log₁₀(x) ili, u slučaju nekih informatičara, log₂(x) (iako se ovo piše kao lg(x)).

Kod najčešće koristenih programskih jezika, uključujući C, C++, MATLAB, Fortran i BASIC, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnim kalkulatorima, prirodni logaritam je označen sa ln, a log predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(x)" označava "log₂(x)".

Osobine

• $\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm za}\quad 0 < x < y\;$

• $\frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm za}\quad h > -1\;$

• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,$

Derivacija, Taylorov red

Derivacija prirodnog logaritma je data sa

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,$

Taylorovi polinomi za $\log_e$(1+x) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu -1 < x ≤ 1. Uočite da su, za x > 1, Taylorovi polinomi višeg stepena gore aproksimacije.

Ovo vodi do Taylorovog reda za $\ln(1+x)$ oko $0$; također je poznat pod nazivom Mercatorov red

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm za}\quad \left|x\right| \leq 1\quad$

${\rm osim ako je}\quad x = -1$

Desno je slika funkcije $\ln(1+x)$ i nekih njenih Taylorovih polinoma oko $0$. Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti -1 < x ≤ 1; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena su gore aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem x-1 umjesto x, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

$\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n$

$\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots$

${\rm za}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm osim ako je}\quad x = 0.$

Korištenjem Eulerove transformacije na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

$\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots$

Ovaj red sličan je Bailey–Borwein–Plouffeovoj formuli.

Također uočite da je $x \over {x-1}$ također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog broja y, jednostavno uvrstimo u $y \over {y-1}$ za x.

Prirodni logaritam u integraciji

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu integraciju funkcija oblika g(x) = f '(x)/f(x): antiderivacija od g(x) je data sa ln(|f(x)|). Ovo je slučaj zbog pravila derivacije proizvoda i sljedeće činjenice:

$\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.$

Drugim riječima,

$\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C$

i

$\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.$

Slijedi primjer u slučaju kada je g(x) = tan(x):

$\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx$

$\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.$

Neka je f(x) = cos(x), a f'(x)= - sin(x):

$\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C$

$\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C$

gdje je C konstanta integracije.

Prirodni logaritam može se intergrisati pomoću parcijalnom integracijom:

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$

Također pogledajte

• John Napier - izumitelj logaritma
• Logaritamska integralna funkcija
• Nicholas Mercator - pri čovjek koji je koristio termin "prirodni logaritam"
• Polilogaritam
• Von Mangoldtova funkcija
• Broj e

Vanjski linkovi

• Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained