Proširena matrica

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U linearnoj algebri, proširena matrica je matrica dobivena dodavanjem kolona dvije date matrice, obično iz razloga izvršenja istih elementarnih operacija na svakoj od datih matrica.

Date su matrice A i B, gdje je


A =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 0 & 1 \\
    5 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
, \quad
B =
  \begin{bmatrix}
    4 \\
    3 \\
    1
  \end{bmatrix},

pa je proširena matrica (A|B) napisana kao


(A|B)=
  \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 3 & 2 & 4 \\
    2 & 0 & 1 & 3 \\
    5 & 2 & 2 & 1
  \end{array}\right].

Proširena matrica se također može koristiti da se pronađe inverzna matrica kombinacijom proširene i jedinične matrice.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Inverzna matrica[uredi | uredi izvor]

Neka C bude kvadratna matrica 2×2


C = 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    -5 & 0
  \end{bmatrix}.

Da bi našli inverz od C pravimo (C|I) gdje je I jedinična matrica 2×2. Zatim se reducira dio (C|I) oji odgovara C do jedinične matrice korištenjem elementarnih operacija sa redovima na (C|I).


(C|I) = 
  \left[\begin{array}{cc|cc}
    1 & 3 & 1 & 0\\
    -5 & 0 & 0 & 1
  \end{array}\right]

(I|C^{-1}) = 
  \left[\begin{array}{cc|cc}
    1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\
    0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15}
  \end{array}\right]
,

gdje je desni dio inverz od originalne matrice.

Postojanje i broj rješenja[uredi | uredi izvor]

Zamislimo sistem jednačina

x + y + 2z = 3
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 2.

Koeficijent matrice je


A = 
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 & 2 \\
    1 & 1 & 1 \\
    2 & 2 & 2 \\
  \end{bmatrix},

dok proširena matrica glasi


(A|B) = 
  \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & 2 & 3\\
    1 & 1 & 1 & 1 \\
    2 & 2 & 2 & 2
  \end{array}\right].

Pošto obje imaju isti rang, koji iznosi 2, postoji najmanje jedno rješenje; pošto je njihov rang manji od broja nepoznatih, kojih ima tri, postoji beskonačan broj rješenja.

U suprotnosti, zamislimo sistem

x + y + 2z = 3
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 5.

Koeficijent matrice je


A = 
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 & 2 \\
    1 & 1 & 1 \\
    2 & 2 & 2 \\
  \end{bmatrix},

dok proširena matrica glasi


(A|B) = 
  \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 1 & 2 & 3\\
    1 & 1 & 1 & 1 \\
    2 & 2 & 2 & 5
  \end{array}\right].

U ovom primjeru, matrica koeficijenata ima rang 2, dok proširena matrica ima rang 3; tako da ovaj sistem jednačina nema rješenja.

Reference[uredi | uredi izvor]