Racionalizacija (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Gnome-emblem-important.svg Na ovoj stranici su konstatovane greške u izvornom kodu koje moguće dovode do nepoželjnih rezultata.
Ispravite ove greške i zatim uklonite ovaj šablon. Ako ne znate kako da ispravite ove greške onda se obratite na čaršiji za pomoć.
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)

U elementarnoj algebri racionalizacija korijena je proces kojim se eliminiše iracionalan broj u nazivniku razlomka.

Ovi iracionalni brojevi mogu biti monomi ili binomi koji sadrže kvadratne korijene. Postoje, također, razne verzije ove tehnike.

Racionalizacija monomnog kvadratnog korijena[uredi | uredi izvor]

U ovoj osnovnoj tehnici, brojnik i nazivnik moraju biti pomnoženi istim faktorom.

Primjer:

\frac{10}{\sqrt{5}}

Kako bi racionalizovali ovu vrstu monoma, uvodimo faktor \sqrt{5}:

\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{{10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^2}

Kvadratni korijen nestaje iz nazivnika, pošto je kvadriran (korijen i kvadrat se poništavaju):

\frac{{10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5}

Ovo daje rezultat, nakon pojednostavljenja:

\frac{{10\sqrt{5}}}{{5}} = 2\sqrt{5}

Operacija sa više kvadratnih korijena[uredi | uredi izvor]

Za nazivnik koji glasi:

\sqrt{2}+\sqrt{3}

racionalizacija se može izvesti množenjem sa:

\sqrt{2}-\sqrt{3}

i primjenom identiteta razlike kvadrata, koji ovdje iznosi 1. Kako bi dobili ovaj rezultat, cijeli razlomak pomnožit ćemo sa

\frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = 1

Ova tehnika vrijedi i u općenitijim slučajevima. Može se lahko prilagoditi da ukloni po jedan kvadratni korijen, npr. da bi racionalisali

x +\sqrt{y}

množenjem sa

x -\sqrt{y}.

Primjer:

\frac{{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}

Razlomak se mora pomnožiti sa količnikom koji sadrži {\sqrt{3}-\sqrt{5}}.

\frac{{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} · \frac{{{\sqrt{3}-\sqrt{5}}}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{\sqrt{3^2}-\sqrt{5^2}}

Sada možemo ukloniti kvadratne korijene u nazivniku:

\frac{{3{\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{\sqrt{3^2}-\sqrt{5^2}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{{3}-{5}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{{-2}}

Reference[uredi | uredi izvor]

  • George Chrystal, Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges is a nineteenth-century text, first edition 1889, in print (ISBN 1-4021-5907-2); a trinomial example with square roots is on p. 256, while a general theory of rationalising factors for surds is on pp. 189-199.