Racionalizacija (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U elementarnoj algebri racionalizacija korijena je proces kojim se eliminiše iracionalan broj u nazivniku razlomka.

Ovi iracionalni brojevi mogu biti monomi ili binomi koji sadrže kvadratne korijene. Postoje, također, razne verzije ove tehnike.

Racionalizacija monomnog kvadratnog korijena[uredi | uredi izvor]

U ovoj osnovnoj tehnici, brojnik i nazivnik moraju biti pomnoženi istim faktorom.

Primjer:

\frac{10}{\sqrt{5}}

Kako bi racionalizovali ovu vrstu monoma, uvodimo faktor \sqrt{5}:

\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{{10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^2}

Kvadratni korijen nestaje iz nazivnika, pošto je kvadriran (korijen i kvadrat se poništavaju):

\frac{{10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5}

Ovo daje rezultat, nakon pojednostavljenja:

\frac{{10\sqrt{5}}}{{5}} = 2\sqrt{5}

Operacija sa više kvadratnih korijena[uredi | uredi izvor]

Za nazivnik koji glasi:

\sqrt{2}+\sqrt{3}

racionalizacija se može izvesti množenjem sa:

\sqrt{2}-\sqrt{3}

i primjenom identiteta razlike kvadrata, koji ovdje iznosi 1. Kako bi dobili ovaj rezultat, cijeli razlomak pomnožit ćemo sa

\frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = 1

Ova tehnika vrijedi i u općenitijim slučajevima. Može se lahko prilagoditi da ukloni po jedan kvadratni korijen, npr. da bi racionalisali

x +\sqrt{y}

množenjem sa

x -\sqrt{y}.

Primjer:

\frac{{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}

Razlomak se mora pomnožiti sa količnikom koji sadrži {\sqrt{3}-\sqrt{5}}.

\frac{{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} · \frac{{{\sqrt{3}-\sqrt{5}}}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{\sqrt{3^2}-\sqrt{5^2}}

Sada možemo ukloniti kvadratne korijene u nazivniku:

\frac{{3{\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{\sqrt{3^2}-\sqrt{5^2}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{{3}-{5}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{{-2}}

Reference[uredi | uredi izvor]

  • George Chrystal, Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges is a nineteenth-century text, first edition 1889, in print (ISBN 1-4021-5907-2); a trinomial example with square roots is on p. 256, while a general theory of rationalising factors for surds is on pp. 189-199.