Racionalizacija (matematika)

U elementarnoj algebri racionalizacija korijena je proces kojim se eliminiše iracionalan broj u nazivniku razlomka.

Ovi iracionalni brojevi mogu biti monomi ili binomi koji sadrže kvadratne korijene. Postoje, također, razne verzije ove tehnike.

Racionalizacija monomnog kvadratnog korijena

U ovoj osnovnoj tehnici, brojnik i nazivnik moraju biti pomnoženi istim faktorom.

Primjer:

$\frac{10}{\sqrt{5}}$

Kako bi racionalizovali ovu vrstu monoma, uvodimo faktor $\sqrt{5}$:

$\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{{10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^2}$

Kvadratni korijen nestaje iz nazivnika, pošto je kvadriran (korijen i kvadrat se poništavaju):

$\frac{{10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5}$

Ovo daje rezultat, nakon pojednostavljenja:

$\frac{{10\sqrt{5}}}{{5}} = 2\sqrt{5}$

Operacija sa više kvadratnih korijena

Za nazivnik koji glasi:

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

racionalizacija se može izvesti množenjem sa:

$\sqrt{2}-\sqrt{3}$

i primjenom identiteta razlike kvadrata, koji ovdje iznosi 1. Kako bi dobili ovaj rezultat, cijeli razlomak pomnožit ćemo sa

$\frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ = 1

Ova tehnika vrijedi i u općenitijim slučajevima. Može se lahko prilagoditi da ukloni po jedan kvadratni korijen, npr. da bi racionalisali

$x +\sqrt{y}$

množenjem sa

$x -\sqrt{y}$.

Primjer:

$\frac{{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

Razlomak se mora pomnožiti sa količnikom koji sadrži ${\sqrt{3}-\sqrt{5}}$.

$\frac{{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ · $\frac{{{\sqrt{3}-\sqrt{5}}}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{\sqrt{3^2}-\sqrt{5^2}}$

Sada možemo ukloniti kvadratne korijene u nazivniku:

$\frac{{3{\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{\sqrt{3^2}-\sqrt{5^2}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{{3}-{5}} = \frac{{3({\sqrt{3}-\sqrt{5}}) }}{{-2}}$

Reference

• George Chrystal, Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges is a nineteenth-century text, first edition 1889, in print (ISBN 1402159072); a trinomial example with square roots is on p. 256, while a general theory of rationalising factors for surds is on pp. 189-199.