Ravan (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Presijek dvije ravne u trodimenzionalnom prostoru
Za druga značenja pojma Ravan pogledajte Ravan (čvor).

U matematici, ravan je ravni dvodimenzionalni površ, analogon tački (nula dimenzija), pravi (jedna dimenzija) i punom tijelu (tri dimenzije). Ravni mogu nastati kao podprostori nekog većeg dimenzionalnog prostora, kao na primjer zidovi neke sobe, ili mogu postojati kao nezavisni objekti u smislu Euklidove geometrije.

Ravan u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru[uredi | uredi izvor]

Tri paralelna ravna

Osobine[uredi | uredi izvor]

Sljedeći iskazi važe u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru, ali ne u višim dimenzijama (i ako imaju više dimenzionalne analogone):

  • Dva ravna su ili paralelni, ili se presjecaju u nekoj liniji.
  • Linija je ili paralelna ravnu, presjeca ravan u jednoj tački, ili se potpuno nalazi u njemu.
  • Linije okomite prema istoj ravni se nalaze paralelno jedne od druge.
  • Dva ravna okomite prema istoj liniji se nalaze paralelno jedno od druge.

Opisivanje ravna kroz tri tačke[uredi | uredi izvor]

Neka su p1=(x1, y1, z1), p2=(x2, y2, z2), i p3=(x3, y3, z3) nekolinearne tačke. Na osnovu ovih tačaka možemo upotrebiti jednu od sljedeće tri metode da bi opisali ravnu.

Metoda 1[uredi | uredi izvor]

Ravan koji prolazi kroz p1, p2, i p3 se može opisati kao skup svih tačaka (x,y,z) koje zadovoljavaju sljedeće determinantne jednačine:

\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1
\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3
\end{vmatrix} = 0.

Metoda 2[uredi | uredi izvor]

Ravan je također moguće opisati kao jednačinu forme  ax + by + cz + d = 0 , gdje se sljedeći sistem jednačina treba riješiti:

\, ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0
\, ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0
\, ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0.

Ovaj sistem se može riješiti koristeći Kramerovo pravilo i osnovne matrične manipulacije:

D = \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}.

Ako D nije nula (ravni koji ne prolaze kroz koordinatni početak) vrijednosti za a, b i c se mogu izračunati na sljedeći način:

a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
1 & y_1 & z_1 \\
1 & y_2 & z_2 \\
1 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}
b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & 1 & z_1 \\
x_2 & 1 & z_2 \\
x_3 & 1 & z_3
\end{vmatrix}
c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}.

Ove jednačine su parametrične u d. Stavljajući d da bude jednak bilo kojem nenultnom broju i zamjenjujući njega u ovim jednačinama daje skup solucija.

Metoda 3[uredi | uredi izvor]

Treća metoda za opisivanje ravna je sa "tačkom i površinskom normalom". Zadovoljavajuća površinska normala se dobiva vektorskim proizvodom

\bold n = ( \bold p_2 - \bold p_1 ) \times ( \bold p_3 - \bold p_1 ),

i tačkom r0 koja može biti bilo koja od tačaka p1,p2 ili p3.[1]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Dawkins, Paul, "Equations of Planes", Calculus III 

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: