Robinov granični uslov

U matematici, Robinov granični uslov (Granični uslov treće vrste) je vrsta graničnog uslova, koji je dobio naziv po Victoru Gustaveu Robinu (1855.-1897.), koji je predavao matematičku fiziku u Sorbonneu u Parizu, te je radio u područjima termodinamike. Kada se nametne običnoj|ordinary ili parcijalnoj diferencijalnoj jednačini, to je specifikacija linearne kombinacije vrijednosti funkcije i vrijednosti njene derivacije na granicama domena. Robin bi se trebao izgovarati kao francusko ime, iako neki engleski matematičari angliciraju tu riječ.

Robinovi granični uslovi nazivaju se i impedancni granični uslovi, zbog njihove primjene u rješavanju elektromagnetnih problema.

Ako je $\Omega\,$ domen na kojem se zadata jednačina rješava, a $\partial \Omega$ označava njenu granica (topologija)granicu, Robinov granični uslov je

$a u + b \frac{\partial u}{\partial n} =g$ on $\partial \Omega\,$

za neke konstante $a\,$ i $b\,$ različite od nule, i za datu funkciju $g\,$ definisanu na $\partial \Omega.$ Ovdje, $u\,$ je nepoznato rješenje definisano na $\Omega,\,$, a $\partial u/\partial n$ označava derivaciju normal na granicama. Općenitije, $a\,$ i $b\,$ mogu biti (zadate) funkcije, umjesto da budu konstante.

U jednoj dimenziji, ako je, na primjer, $\Omega=[0, 1],\,$ Robinov granični uslov postaju uslovi

$a u(0) - bu'(0) =g(0)\,$

$a u(1) + bu'(1) =g(1).\,$

(primijetite promjenu znaka ispred člana koji sadrži derivaciju. to je zbog toga što je normala na $[0, 1]$ u $0$ usmjerena u negativnom smijeru, dok je u $1$ usmjerena pozitivnom smijeru).

Robinovi granični uslovi se najčešće koriste za rješavanje Sturm-Liouvilleovih problema koji se pojavljuju u mnogim kontekstima u nauci i inženjerstvu.

Dodatno, Robinov granični uslov je opća forma izolativnog graničnog uslova za konvekacijko-difuzione jednačine. Ovdje, suma konvekacijskih i difuzionih protoka jednaka je nuli:

$-D \frac{\partial c(0)}{\partial x}+ u_x(0)\,c(0)=0\,$

gdje je D difuziona konstanta, u je konvekacijska brzina u granici i c je koncentracija. Prvi član je rezultat Fickovog zakona difuzije.

Također pogledajte

• Dirichletov granični uslov
• Neumannov granični uslov
• Miješani granični uslov
• Cauchyjev granični uslov

Reference

• Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, 47-53.
• Gustafson, K. and T. Abe, (1998b). The third boundary condition - was it Robin's?, The Mathematical Intelligencer, 20, 63-71.

• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Applied mathematics, body and soul, Berlin; New York: Springer ISBN 3540008896.

• Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework, New York: Springer ISBN 0387951423.

• Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Computational differential equations, Cambridge; New York: Cambridge University Press ISBN 0521567386.

• Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations, Berlin; New York: Springer ISBN 3540672966.