Robinov granični uvjet

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Robinov granični uslov)
Idi na: navigacija, traži

U matematici, Robinov granični uvjet (Granični uvjet treće vrste) jeste vrsta graničnog uslova, koji je dobio naziv po Victoru Gustaveu Robinu (čit. Robenu), koji je predavao matematičku fiziku na Sorbonnei u Parizu, te je radio u područjima termodinamike.[1] Kad se nametne običnoj ili parcijalnoj diferencijalnoj jednačini, to je specifikacija linearne kombinacije vrijednosti funkcije i vrijednosti njene derivacije na granicama domena.

Robinovi granični uvjeti nazivaju se i impedancnim graničnim uvjetima, zbog njihove primjene u rješavanju elektromagnetnih problema.

Ako je \Omega\, domen na kojem se zadana jednačina rješava, a \partial \Omega označava njenu granica (topologija)granicu, Robinov granični uvjet jeste

a u + b \frac{\partial u}{\partial n} =g on \partial \Omega\,

za neke konstante a\, i b\, različite od nule, i za datu funkciju g\, definiranu na \partial \Omega. Ovdje, u\, je nepoznato rješenje definirano na \Omega,\,, a \partial u/\partial n označava derivaciju normale na granicama. Općenitije, a\, i b\, mogu biti (zadane) funkcije umjesto da budu konstante.

U jednoj dimenziji, ako je, npr, \Omega=[0, 1],\, Robinov granični uvjet postaju uvjeti

a u(0) - bu'(0) =g(0)\,
a u(1) + bu'(1) =g(1).\,

(primijetite promjenu znaka ispred člana koji sadrži derivaciju; to je zbog toga što je normala na [0, 1] u 0 usmjerena u negativnom smjeru, dok je u 1 usmjerena u pozitivnom smjeru).

Robinovi granični uvjeti najčešće se koriste za rješavanje Sturm-Liouvilleovih problema, koji se pojavljuju u mnogim kontekstima u nauci i inženjerstvu.

Dodatno, Robinov granični uvjet je opća forma izolativnog graničnog uvjeta za konvekacijsko-difuzione jednačine. Ovdje, suma konvekacijskih i difuzionih protoka jednaka je nuli:

-D \frac{\partial c(0)}{\partial x}+ u_x(0)\,c(0)=0\,

gdje je D difuziona konstanta, u je konvekacijska brzina u granici, a c je koncentracija. Prvi član je rezultat Fickovog zakona difuzije.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ K. Gustafson (1998), "Domain Decomposition, Operator Trigonometry, Robin Condition", Contemporary Mathematics, 218, 432-437.
  • Gustafson, K. i T. Abe, (1998a), (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, 47-53.
  • Gustafson, K. i T. Abe, (1998b), "The third boundary condition - was it Robin's?", The Mathematical Intelligencer, 20, 63-71.
  • Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Applied mathematics, body and soul, Berlin; New York: Springer ISBN 3540008896.
  • Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework, New York: Springer ISBN 0387951423.
  • Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Computational differential equations, Cambridge; New York: Cambridge University Press ISBN 0521567386.
  • Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations, Berlin; New York: Springer ISBN 3540672966.