Sabiranje

3 + 2 = 5 sa jabukama, popularnim primjerom u školama

Sabiranje je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih ukupno ima. Sabirati možemo jabuke, kruške, lubenice, ovce u snu (sve su to cijeli brojevi), no i tekućine utočene i istočene iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi).

Matematički sabiranje je predstavljamo znakom plus +, npr. 1 + 2 = 3. Brojeve koje sabiremo nazivamo pribrojnici.

Sabiranje je komutativno, što znači da je 1 + 2 = 2 + 1, tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a rezultat sabiranja se neće promijeniti.

Sabiranje je i asocijativno, jer vrijedi ( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 )

Kod sabiranja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:

$\sum_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n-1} + x_{n},$

što znači da sabiramo prvih n članova niza, od x₁ do x_n. Zbir članova Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina, bez brojeva ne bi bilo matematike.

Notacija i terminologija

Znak plus

Sabiranje se zapisuje korištenjem znakom plus "+" koji se stavlja između dva člana koji se sabiru, to jest, u infiksnoj notaciji. Rezultat se izražava sa znakom jednakosti. Na primjer,

$1 + 1 = 2$ (verbalno, "jedan plus jedan jednako je dva")

$2 + 2 = 4$ (verbalno, "dva plus dva jednako je četiri")

$5 + 4 + 2 = 11$ (pogledajte "asocijativnost" ispod)

$3 + 3 + 3 + 3 = 12$ (pogledajte "množenje" ispod)

Osobine

Komutativnost

4 + 2 = 2 + 4 sa blokovima

Sabiranje je komutativno, što znači da članovi, koji se sabiru, mogu, međusobno, zamijeniti mjesta, a da rezultat ostane nepromijenjen. Simbolički, ako su a i b dva broja, tada vrijedi

a + b = b + a.

Asocijativnost

2+(1+3) = (2+1)+3 sa segnetntovanim štapovima

Još jedna osobina sabiranja je asocijativnost, koju dobijamo kada pokušamo definisati uzastopno sabiranje više članova sume. Da li bi izraz

"a + b + c"

trebao biti definisan kao (a + b) + c ili kao a + (b + c)? Činjenica da je sabiranje asocijativno govori nam da je odabir definicije nebitan. Za bilo koja tri broja a, b i c, važi da je

(a + b) + c = a + (b + c).

Na primjer, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Nisu svi operatori asocijativni, tako da u izrazima sa ostalim operatorima, kao što je dijeljenje, važno je naznačiti redoslijed operacija.

Reference

Historija

• Bunt, Jones, and Bedient (1976). The historical roots of elementary mathematics, Prentice-Hall ISBN 0-13-389015-5.
• Ferreirós, José (1999). Labyrinth of thought: A history of set theory and its role in modern mathematics, Birkhäuser ISBN 0-8176-5749-5.
• Kaplan, Robert (2000). The nothing that is: A natural history of zero, Oxford UP ISBN 0-19-512842-7.
• Karpinski, Louis (1925). The history of arithmetic, Rand McNally. LCC QA21.K3. LCC QA21.K3.
• Schwartzman, Steven (1994). The words of mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English, MAA ISBN 0-88385-511-9.
• Williams, Michael (1985). A history of computing technology, Prentice-Hall ISBN 0-13-389917-9.

Elementarna matematika

• Davison, Landau, McCracken, and Thompson (1999). Mathematics: Explorations & Applications, TE, Prentice Hall ISBN 0-13-435817-1.
• F. Sparks and C. Rees (1979). A survey of basic mathematics, McGraw-Hill ISBN 0-07-059902-5.

Obrazovanje

• Begle, Edward (1975). The mathematics of the elementary school, McGraw-Hill ISBN 0-07-004325-6.
• California State Board of Education mathematics content standards Adopted December 1997, accessed December 2005.
• D. Devine, J. Olson, and M. Olson (1991). Elementary mathematics for teachers, 2e, Wiley ISBN 0-471-85947-8.
• National Research Council (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics, National Academy Press ISBN 0-309-06995-5.
• Van de Walle, John (2004). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally, 5e, Pearson ISBN 0-205-38689-X.

Spoznajna nauka

• Baroody and Tiilikainen (2003). "Two perspectives on addition development". The development of arithmetic concepts and skills: 75. ISBN 0-8058-3155-X. 
• Fosnot and Dolk (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction, Heinemann ISBN 0-325-00353-X.
• Weaver, J. Fred (1982). "Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction". Addition and subtraction: A cognitive perspective: 60. ISBN 0-89859-171-6. 
• Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The development of mathematical skills: 3. ISBN 0-86377-816-X. 

Matematička ekspozicija

• Addition.
• Dunham, William (1994). The mathematical universe, Wiley ISBN 0-471-53656-3.
• Johnson, Paul (1975). From sticks and stones: Personal adventures in mathematics, Science Research Associates ISBN 0-574-19115-1.
• Linderholm, Carl (1971). Mathematics made difficult, Wolfe ISBN 0-7234-0415-1.
• Smith, Frank (2002). The glass wall: Why mathematics can seem difficult, Teachers College Press ISBN 0-8077-4242-2.
• Smith, Karl (1980). The nature of modern mathematics, 3e, Wadsworth ISBN 0-8185-0352-1.

Napredna matematika

• Bergman, George (2005). An invitation to general algebra and universal constructions, 2.3e, General Printing ISBN 0-9655211-4-1.
• Burrill, Claude (1967). Foundations of real numbers, McGraw-Hill. LCC QA248.B95. LCC QA248.B95.
• D. Dummit and R. Foote (1999). Abstract algebra, 2e, Wiley ISBN 0-471-36857-1.
• Enderton, Herbert (1977). Elements of set theory, Academic Press ISBN 0-12-238440-7.
• Lee, John (2003). Introduction to smooth manifolds, Springer ISBN 0-387-95448-1.
• Martin, John (2003). Introduction to languages and the theory of computation, 3e, McGraw-Hill ISBN 0-07-232200-4.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis, 3e, McGraw-Hill ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals, 4e, Brooks/Cole ISBN 0-534-36298-2.

Matematičko istraživanje

• Akian, Bapat, and Gaubert (2005). "Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem". INRIA reports.
• J. Baez and J. Dolan (2001). "From Finite Sets to Feynman Diagrams". Mathematics Unlimited— 2001 and Beyond: 29. ISBN 3-540-66913-2. 
• Litvinov, Maslov, and Sobolevskii (1999). Idempotent mathematics and interval analysis. Reliable Computing, Kluwer.
• Loday, Jean-Louis (2002). "Arithmetree". J. Of Algebra 258: 275.
• Mikhalkin, Grigory (2006). "Tropical Geometry and its applications". To appear at the Madrid ICM.
• Viro, Oleg (2000). Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper. (HTML) Plenary talk at 3rd ECM, Barcelona.

Računarstvo

• M. Flynn and S. Oberman (2001). Advanced computer arithmetic design, Wiley ISBN 0-471-41209-0.
• P. Horowitz and W. Hill (2001). The art of electronics, 2e, Cambridge UP ISBN 0-521-37095-7.
• Jackson, Albert (1960). Analog computation, McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3. LCC QA76.4 J3.
• T. Truitt and A. Rogers (1960). Basics of analog computers, John F. Rider. LCC QA76.4 T7. LCC QA76.4 T7.