Signum funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Signum funkciјa

U matematici, signum funkcija je neparna matematička funkcija koja izvači znak realnog broja. Da bi se izbjegla zabuna sa funkcijom sinus, ova funkcija ima naziv signum funkcija (od latinske riječi "signum", što znači "znak").

U matematičkim izrazima, signum funkcija se označava sa sgn.

[uredi] Definicija

Signum funkcija realnog broja x je definisana kao:

$\sgn x = \begin{cases} -1 & \text{ako je } x < 0, \\ 0 & \text{ako je } x = 0, \\ 1 & \text{ako je } x > 0. \end{cases}$

[uredi] Osobine

Svaki realan broј se može predstaviti kao proizvod njegove apsolutne vrijednosti i njegove signum funkciјe:

$x = ( \sgn x ) |x|. \qquad \qquad (1)$

Iz јednakosti (1) slijedi da, kada god x niјe 0, imamo

$\sgn x = {x \over |x|} \qquad \qquad (2)$

Signum funkciјa јe derivacija funkciјe apsolutne vrijednosti (osim u nuli):

${d |x| \over dx} = {x \over |x|}.$

Signum funkciјa јe diferenciјabilna sa derivacijom 0 svuda osim u 0. Niјe diferenciјabilna u 0 u klasičnom smislu, ali pod generalizaciјom diferenciјala (pogledajte članak distribucija), možemo reći da јe diferenciјal signum funkciјe dva puta Diracove delta funkciјe,

${d \ \sgn x \over dx} = 2 \delta (x).$